河南省豫南名校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知点 $M (0 ， 1 ， 3)$ ， $N (- 1 ， - 2 ， 4)$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $(1 ， 3 ， - 1)$ B、 $(1 ， 3 ， 1)$ C、 $(- 1 ， - 3 ， 1)$ D、 $(1 ， - 3 ， - 1)$

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2. 两平行直线 $x - 5 y = 0$ 与 $x - 5 y - 26 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{26}$ C、5 D、 $3 \sqrt{3}$

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3. 平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (1 ， 2 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2 ， 2 ， 1)$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 夹角的正切值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{4 \sqrt{65}}{65}$ D、 $\frac{\sqrt{65}}{4}$

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4. 已知直线 $l ： a x + b y + 1 = 0$ 始终平分圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$ 的周长，则（）

A、 $a + b = - 1$ B、 $a + b = - \frac{1}{2}$ C、 $a + b = 1$ D、 $a + b = \frac{1}{2}$

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5. 如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，E，F分别是BC，OA的中点，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O D} - \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \vec{O C}$ C、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ D、 $2 \vec{O A} + \vec{O B}$

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6. 已知点M，N分别为圆 $A ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 与 $B ： {(x + 3 \sqrt{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3$ 上一点，则 $| M N |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、3 D、 $3 \sqrt{3} - 1$

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7. 若直线 $y = \frac{1}{3} x + 1$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $y = k x - 1$ 的倾斜角为 $2 α + \frac{π}{4}$ ，则k＝（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、7 D、9

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8. 如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知点 $A (- 4 ， 3 ， - 6)$ ，则（）

A、 $\vec{O A}$ 在 $x$ 轴上的投影向量的坐标为 $(- 4 ， 0 ， 0)$ B、 $\vec{O A}$ 在 $y$ 轴上的投影向量的坐标为 $(0 ， 3 ， 0)$ C、 $\vec{O A}$ 在 $z$ 轴上的投影向量的坐标为 $(0 ， 0 ， 6)$ D、点 $A$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影的坐标为 $(- 4 ， 3 ， 0)$

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10. 如图，设直线l，m，n的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{2} > k_{3}$ B、 $k_{2} < k_{1}$ C、 $k_{2} < k_{3}$ D、 $| k_{2} | > k_{1}$

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11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面BCD， $B D ⊥ C D$ ， $B D = C D = 2$ ， $△ A B D$ 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{28}$ ，则AF的值可能为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 已知点 $A (u + 2 ， 0)$ ， $B (- u ， 0)$ ，若圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 上存在唯一的一点P，使得 $P A ⊥ P B$ ，则u的值可能为（）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、1 D、7

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{A B} = (1 ， - 4 ， 1)$ ， $\vec{A C} = (1 ， 2 ， m)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $m =$ ．

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14. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $A (1 ， 3 ， m)$ ， $B (0 ， n ， 4)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 3)$ ，若四边形 $O A B C$ 为平行四边形，则 $m + n =$ ．

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15. 若函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + a}$ 的图象是半径为 $r (2 < r < 3)$ 的圆的一部分，则a的一个值可以是．

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16. 已知光线从点 $A (6 ， 1)$ 射出，到 $x$ 轴上的点 $B$ 后，被 $x$ 轴反射到 $y$ 轴上的点 $C$ ，再被 $y$ 轴反射，这时反射光线恰好经过点 $D (4 ， 4)$ ，则 $C D$ 所在直线的方程为.

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四、解答题

17. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为4的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = 3$ ， E，F分别是BC， $A_{1} D_{1}$ 的中点．以A为坐标原点， $\vec{A B}$ 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)、求出 $B_{1}$ ， $D_{1}$ ， E，F四点的坐标；

(2)、求 $c o s ⟨ \vec{B_{1} F} ， \vec{D_{1} E} ⟩$ 的值．

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18.

(1)、已知直线 $l ： y = (m^{2} - 2 m) x - m (m \in R)$ ，求直线l的倾斜角 $α$ 的取值范围；

(2)、若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，且直线l经过点 $M (3 ， - 7)$ ，求直线l的方程．（将方程化为一般式方程）

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19. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 6$ ， $A B = 4$ ，设 $\vec{C D} = a$ ， $\vec{C B} = b$ ， $\vec{C C_{1}} = c$ .

(1)、若 $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）

(2)、若 $O$ 是 $B_{1} D$ 的中点，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ，求线段 $D O$ 的长.

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20. 已知圆 $C ： {(x + a)}^{2} + {(y - 2 a)}^{2} = 5 a^{2}$ ．

(1)、若圆C被直线 $3 x + 4 y = 0$ 截得的弦长为8，求圆C的直径；

(2)、已知圆C过定点P，且直线 $x - y + 2 a = 0$ 与圆C交于A，B两点，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} > - 4$ ，求a的取值范围．

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21. 已知半径为 $\frac{8}{3}$ 的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线 $12 x - 9 y - 1 = 0$ 与圆C相切．

(1)、求圆C的标准方程．

(2)、若圆C的一条弦经过点 $M (0 ， 2)$ ，求这条弦的最短长度．

(3)、已知 $A (0 ， - 1)$ ， P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得 $\frac{| P B |}{| P A |}$ 为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内， $D E$ 是三棱锥 $D - A B C$ 的高，且 $D E = 2$ ． $△ A B C$ 是边长为 $6$ 的正三角形， $D B = D C = 5$ ．

(1)、求点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离；

(2)、点 $G$ 是棱 $A C$ 上的一点（不含端点），求平面 $D E G$ 与平面 $B C D$ 夹角余弦值的最大值．

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