河南省南阳市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + 3 y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $15 0^{°}$ B、 $12 0^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $3 0^{°}$

查看试题解析
2. 抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = \frac{1}{16}$ B、 $x = 1$ C、 $y = 1$ D、 $y = 2$

查看试题解析
3. 已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（）象限

A、第一、二、三 B、第一、二、四 C、第一、三、四 D、第二、三、四

查看试题解析
4. 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
5. 如图，已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $P$ 是椭圆上的一点， $P F ⊥ x$ 轴， $O P // A B$ （O为原点），则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
6. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $a x + b y - 1 = 0$ 经过圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、2 D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
7. 已知圆 $B ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 64$ ， $A (2 ， 0)$ ，动点 $C$ 为圆 $B$ 上任意一点，则 $A C$ 的垂直平分线与 $B C$ 的交点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

查看试题解析
8. 过点 $M (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 于 $A ， B$ 两点，若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）

A、4x＋2y＋3＝0 B、2x－4y＋3＝0 C、x－2y＋3＝0 D、2x－y＋3＝0

查看试题解析
10. 已知斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，与拋物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，又直线 $l$ 与圆 $x^{2} + {(y - \frac{p}{2})}^{2} = p^{2}$ 交于 $C ， D$ 两点.若 $| A B | = 2 | C D |$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
11. 如图所示， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左、右两支分别交于A， $B$ 两点．若 $| A B | ∶ | B F_{2} | ∶ | A F_{2} | = 3 ∶ 4 ∶ 5$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
12. 已知 $⊙ M ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，直线 $l ： 2 x - y - 6 = 0$ ， P为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A ， P B$ ，切点分别为A，B，当 $| P M | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y + 5 = 0$ D、 $2 x + y + 5 = 0$

查看试题解析

二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点到其渐近线的距离是.

查看试题解析
14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．

查看试题解析
15. 点 $(0 ， - 1)$ 到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为.

查看试题解析
16. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + (y + 2)^{2} \leq 2$ ，若将军从点 $A (- 4 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知 $A (1 ， 4) ， B (- 2 ， - 1) ， C (4 ， 1)$ 是 $△ A B C$ 的三个顶点， $D ， E ， F$ 分别是边 $A B ， B C ， A C$ 的中点.

(1)、求直线 $D F$ 的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

查看试题解析
18. 已知曲线 $C ： m x^{2} + (2 - m) y^{2} = m (2 - m) ， m \in R$ .

(1)、若曲线 $C$ 是椭圆，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若曲线 $C$ 是双曲线，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知点 $P (4 ， - 2)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m = 0$ 的外部.

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = - 4$ ，求过点 $P$ 的圆 $C$ 的切线的方程.

查看试题解析
20. 已知点 $M$ 到点 $F (- 2 ， 0)$ 的距离比点 $M$ 到直线 $x = 3$ 的距离小1.

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、求线段 $M F$ 中点 $Q$ 的轨迹方程.

查看试题解析
21. 已知抛物线 $Ω ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， P$ 为 $Ω$ 上任意一点，以 $P$ 为圆心， $P F$ 为半径的圆与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若点 $A (2 p ， 0)$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $Ω$ 交于 $G ， H$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $B$ ，使 $∠ A B G = ∠ A B H$ 恒成立，若存在，求出点 $B$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知动点 $P$ 到两个定点 $F_{1} (0 ， - \sqrt{3}) ， F_{2} (0 ， \sqrt{3})$ 的距离之和为4，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若点 $Q (0 ， - 3)$ ，过点 $T (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M ， N$ 两点，求 $△ Q M N$ 面积的最大值.

查看试题解析