天津市河西区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线的倾斜角是 $\frac{3 π}{4}$ ，则该直线的斜率是（）

A、-1 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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2. 已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量 $\vec{a} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，向量 $\vec{b} = \vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则不能与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共同构成空间向量的一组基底的向量是（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $\vec{O C}$ D、以上都不能

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3. 直线 $3 x - 2 y - 1 = 0$ 的一个方向向量为（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(3 ， 2)$

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4. 已知点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (2 ， \sqrt{7})$ ， $P$ 为 $x$ 轴上一点，且 $| P A | = | P B |$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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5. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC与BD的交点为M，设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{D_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（）

A、0 B、1 C、0或1 D、0或－1

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7. 已知 $\vec{a} = (3 ， 0 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{11}{25} (- 3 ， 2 ， 5)$ B、 $\frac{11}{38} (- 3 ， 2 ， 5)$ C、 $\frac{11}{25} (3 ， 0 ， 4)$ D、 $\frac{11}{38} (3 ， 0 ， 4)$

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8. 判断圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 14 x - 2 y + 14 = 0$ 的位置关系为（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、内含

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9. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P ， A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

10. 已知 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ， $\vec{b} = (1 ， 5 ， - 1)$ ，则向量 $3 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为.

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11. 经过 $A (1 ， 2)$ ， $B (4 ， 5)$ 两点的直线的斜率 $k =$ .

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12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于.

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13. 直线 $l ： 3 x - y - 6 = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得弦 $A B$ 的长为．

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14. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为

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15. 动点P与定点 $F (2, 0)$ 的距离和它到定直线 $x = 8$ 的距离的比是 $1 : 2$ ，则动点P的轨迹方程是.

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三、解答题

16. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = - 2 x$ 上，并且经过点 $A (2 ， - 1)$ ，与直线 $x + y = 1$ 相切.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求圆 $C$ 关于直线 $6 x - 4 y - 1 = 0$ 对称的圆的方程.

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17. 如图所示，在三棱柱 $A B F - D C E$ 中， $A B C D$ 和 $A D E F$ 都是边长为2的正方形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ，点G、M分别是线段AD、BF的中点.

(1)、求证： $A M$ ∥平面 $B E G$ ；

(2)、求平面 $B E G$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦距为1，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过椭圆的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $6 0^{∘}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $F_{2}$ 为椭圆的右焦点，求 $△ F_{2} M N$ 的面积.

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