浙江省温州十校联合体2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l ： y = - \sqrt{3} x$ ，则直线倾斜角度数为（）

A、60° B、30° C、150° D、120°

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2. 已知曲线 $C ： 2 x^{2} + y^{2} = 1$ ，则离心率e=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 已知空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{D A} = \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C B} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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4. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $N ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，则两圆的位置关系为（）

A、相交 B、外离 C、相切 D、内含

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法错误的是（）

A、 $C C_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角正切值为 $\sqrt{2}$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ C、 $A B ⊥ B C_{1}$ D、 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角为 $60 °$

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6. 已知直线 $l_{1} ： (m + 2) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 3 x + m y + 4 m - 3 = 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、当 $m = - 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合 B、若 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，则 $m = 1$ C、若 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，则两直线间的距离为 $2 \sqrt{2}$ D、原点到直线 $l_{2}$ 的最短距离为 $\sqrt{17}$

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7. 设动直线 $l_{1} ： a x + a + b y + 3 b = 0$ 与动直线 $l_{2} ： b x - 3 b - a y + a = 0$ 相交于点A，O为原点，则线段OA长度的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知点集 $Q = {(x ， y) ∣ \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - 4 y^{2}} \geq 2 x y}$ ，且 $P \in Q$ ，则下列说法正确的个数为（）
①区域Q为轴对称图形；
②区域Q的面积大于 $\frac{3}{2}$ ；
③M是直线 $y = - \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$ 上的一点， $| P M | \geq \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列向量不共面的有（）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + 3 \vec{c}$ ， $\vec{a} + 3 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $- \vec{a}$ ， $2 \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $- 2 \vec{a} - 4 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{c}$

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{4 - k} = 1$ ，则（）

A、若此方程表示椭圆，则 $2 < k < 4$ B、若此方程表示双曲线，则 $k < 2$ 或 $k > 4$ C、若此方程表示焦点在y轴的双曲线，则 $k > 4$ D、若此方程表示圆，则圆的半径为1

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11. 已知A（4，2），B（0，4），圆 $C ： (x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ， P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）

A、 $| P B | - | P A |$ 的最大值为 $2 \sqrt{5}$ B、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为 $- 4$ C、 $x + y$ 的最小值为 $5 - 2 \sqrt{2}$ D、 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | = 2 \sqrt{5}$

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12. 如图，在斜四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D < 90 °$ ，记 $B_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $O$ ，且满足 $\vec{B O} = λ \vec{A B} + μ \vec{B C} (λ ， μ \in R^{+})$ ，记二面角 $A_{1} - A D - C$ 的平面角为 $α$ ，二面角 $B_{1} - A B - C$ 的平面角为 $β$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时， $β < α$ B、当 $μ^{2} - λ^{2} = 1$ 时， $β < α$ C、当 $λ = μ + 1$ 时， $β > α$ D、当 $λ^{2} + μ^{2} = 1$ 时， $β \geq α$

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三、填空题

13. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“如图，点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（1，2），N（3，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为.

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， A，B为其左右顶点，设直线 $x = 4$ 上有一动点 $P (4 ， t) (t \neq 0)$ ，连结AP，BP交椭圆于C，D，则直线BC的斜率 $k_{B C}$ 与直线BD的斜率 $k_{B D}$ 的乘积 $k_{B C} \cdot k_{B D} =$ .

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15. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．

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16. 已知P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是左、右焦点，焦距为2c， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的周长是 $π c$ ，则离心率e的取值范围是.

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四、解答题

17. 在平面内， $A (3 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， C为动点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 5$ ，

(1)、求点C的轨迹方程；

(2)、已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.

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18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，在平面 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $A_{1} B = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证：面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值.

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ ，且经过点 $(4 ， \sqrt{3})$ .

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若点Q是直线 $l ： y = x + 1$ 上一动点，过点Q引双曲线两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否恒过定点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

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20. 已知直线 $l ： \frac{x}{c o s θ} + \frac{y}{s i n θ} = 1$ ，圆 $C ： (x - c o s θ)^{2} + (y - s i n θ)^{2} = 1$ ，其中 $θ \neq \frac{k π}{2}$ ， $k ∈ Z$ .

(1)、试判断直线l与圆C的位置关系；

(2)、求圆C上点到直线l的距离的最大值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为正三角形， $∠ B A D = ∠ C D A = 60 °$ ，且 $C D = \frac{2}{3} A D = 2 A B$ ， M为PC的中点，

(1)、平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ，求证： $l ⊥ A D$ .

(2)、求证： $B M$ $/ /$ 平面PAD．

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ， $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，点M的轨迹为C.

(1)、求C的方程：

(2)、设点P在直线 $x = 1$ 上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明： $| P A | \cdot | P B | = | P G | \cdot | P H |$ .

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