天津市北辰区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - 3 y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、120° B、60° C、30° D、150°

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、40 C、6 D、36

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3. 若圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C与y轴的交点分别为（0，6），（0，﹣2），则该圆的标准方程是（　　）

A、（x﹣2）²+（y﹣2）²＝20 B、（x+2）²+（y+2）²＝20 C、（x﹣2）²+（y﹣2）²＝6 D、（x+2）²+（y﹣2）²＝6

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4. 已知直线l过圆 $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（）

A、x－2y＋1＝0 B、x＋2y－1＝0 C、2x＋y－2＝0 D、x－2y－1＝0

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5. 设P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上的点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点，且 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = \frac{8}{3}$ ，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{6}$ D、3

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6. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 $(0 ， - 2 \sqrt{2})$ 和 $(0 ， 2 \sqrt{2})$ ，且椭圆经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7. 若直线 $l_{1} : x + a y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : (a - 2) x + 3 y + 2 a = 0$ 平行，则 $l_{1}^{}$ 与 $l_{2}^{}$ 间的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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8. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， y ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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9. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A_{1} M} = 2 \vec{M C} ，$ $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则实数x，y，z的值分别为（）

A、 $\frac{1}{3} ，$ $\frac{2}{3} ，$ $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3} ，$ $\frac{1}{3} ，$ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3} ，$ $\frac{2}{3} ，$ $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3} ，$ $\frac{1}{2} ，$ $\frac{2}{3}$

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二、填空题

10. 已知两个不同平面的法向量分别是 ${\vec{n}}_{1} = (2 ， \frac{1}{2} ， - 1)$ ， ${\vec{n}}_{2} = (- 4 ， - 1 ， 2)$ ，则这两个平面的位置关系是．

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11. 经过点 $A (2 ， 3)$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线的斜截式方程为．

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12. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A、B两点，若 $| A B | = 5$ ，则 $| A F_{1} | + | B F_{1} | =$ ．

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13. 已知直线：12x－5y＝3与圆x²＋y²－6x－8y＋16＝0相交于A ， B两点，则|AB|＝.

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14. 已知圆 $C ： x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 m y + 2 m - 1 = 0$ ，当圆C的面积最小时，直线 $l ： 3 x - 4 y + a = 0$ 与圆C相切，则实数a的值为．

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15. 直线 $l_{1} ：$ $a x + 3 y + 1 = 0$ 与 $l_{2 ：}$ $2 x + (a + 1) y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ ；若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$

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三、解答题

16. 已知圆 $C$ 经过 $A (0 ，$ $\sqrt{3}$ $)$ ， $B (1 ， 2)$ 两点，且圆心在直线 $x = 1$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $P (0 ， 2)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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17. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B ， A_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B_{1} E F$ 所成的角的正弦值．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $4$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A ， B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a ， 0)$ ，若 $| A B | = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．

(1)、求证：BF∥平面ADE；

(2)、求直线BE与直线DF所成角的余弦值；

(3)、求点D到直线BF的距离．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是6．过点 $M (4 ， 0)$ 的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为 $\frac{4}{7}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $\frac{| A M |}{| M B |}$ 的值．

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