辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高二上学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知过点 $A (1 ， a)$ ， $B (2 ， - \sqrt{3})$ 的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上一点 $P (x ， y)$ 到焦点 $F_{1}$ 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 设 $x$ 、 $y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， y ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， - 6 ， 3)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、3

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4. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ ，圆 $C_{2} ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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5. 椭圆M的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 3 ， 0)$ ， $F_{2} (3 ， 0)$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆M于点A，B.若 $△ A B F_{2}$ 的周长为20，则该椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{91} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{91} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

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6. 设点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (3 ， 2)$ ，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5}{2}] \cup [\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{4}{3} ， \frac{5}{2})$ C、 $[- \frac{5}{2} ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}] \cup [\frac{5}{2} ， + \infty)$

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7. 已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则SD＝（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、4 D、1

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8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 $\frac{| M Q |}{| M P |} = λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， Q为x轴上一定点， $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，且 $λ = 2$ ，则点Q的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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二、多选题

9. 若 $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 a y + 3 a^{2} - 3 a + 2 = 0$ 表示圆的一般方程，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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10. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，则下列b的取值能使以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C有公共点的是（）

A、 $b = \sqrt{2}$ B、 $b = \sqrt{3}$ C、 $b = 2$ D、 $b = \sqrt{5}$

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11. 已知椭圆 $C_{1} ： 5 x^{2} + y^{2} = 5$ ， $C_{2} ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的焦距相等 B、椭圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的焦点都在 $x$ 轴上 C、直线 $y = \sqrt{5}$ 与椭圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 共有3个交点 D、椭圆 $C_{2}$ 的离心率 $e_{2}$ 比椭圆 $C_{1}$ 的离心率 $e_{1}$ 大

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12. 已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A F} ∥ \vec{C E}$ B、 $\vec{A F} \cdot \vec{C B} = 1$ C、 $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ D、 $2 \vec{E F} = \vec{A C} + \vec{A D} - \vec{A B}$

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三、填空题

13. 直线l过点 $(4 ， 0)$ ，若点 $(1 ， 2)$ 到直线 $l$ 的距离为3，则直线 $l$ 的方程为.

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14. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 + k} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示椭圆，则 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知空间向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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16. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是 $C_{1}$ 的左右焦点，P是 $C_{1}$ 上的动点，点Q在线段 $F_{1} P$ 的延长线上， $| P Q | = | P F_{2} |$ ，点Q的轨迹为 $C_{2}$ ，线段 $F_{2} Q$ 的垂直平分线交 $C_{2}$ 于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 与直线 $3 x + y + 2 = 0$ 交于点 $P$ .求：

(1)、过点 $P$ 且垂直于直线 $4 x + 3 y + 2 = 0$ 的直线 $l_{1}$ 的一般式方程；

(2)、过点 $P$ 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 $l_{2}$ 的一般式方程.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2} ， A B = B C = 2$ ， E为线段 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B ∥$ 平面 $A E C_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 1$ ，求二面角 $A - C_{1} E - C$ 的平面角的正弦值．

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19. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点．

(1)、设椭圆 $C$ 上的点 $(\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 到 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 两点距离之和等于4，求椭圆 $C$ 的方程和焦点坐标；

(2)、设 $K$ 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 $K F_{1}$ 的中点 $B$ 的轨迹方程．

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20. 已知圆心在直线x+y-1=0上，且过点 $A (2 ， 2)$ 的圆 $C_{1}$ 与直线3x-4y+5=0相切，其半径小于5.

(1)、求圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线x+2y-2=0对称，求圆 $C_{2}$ 的方程.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $P A = 4$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值.

(3)、若点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合），直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，定义椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 的“伴随点”为 $N (\frac{x_{0}}{a} ， \frac{y_{0}}{b})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 的“伴随点” $N$ 的轨迹方程；

(2)、如果椭圆 $C$ 上的点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 的“伴随点”为 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2 b})$ ，对于椭圆 $C$ 上的任意点 $M$ 及它的“伴随点” $N$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ 时，直线 $l ： y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若点 $A ， B$ 的“伴随点”分别是 $P ， Q$ ，且以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

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