江苏省常州市溧阳市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若一条直线经过两点 $(- 1 ， 3)$ 和 $(\sqrt{3} ， - \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ ，则这两个圆的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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3. 点 $(3 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} ＝ 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如果 $A C < 0$ ， $B C > 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不通过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 过圆x²+y²＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）

A、x+2y﹣3＝0 B、x﹣2y﹣5＝0 C、2x﹣y﹣5＝0 D、2x+y﹣5＝0

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6. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，四点 $P_{1} (1 ， 1)$ ， $P_{2} (0 ， 1)$ ， $P_{3} (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{4} (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三个点在椭圆 $C$ 上，则这三个点是（）

A、 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ B、 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{4}$ C、 $P_{1}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ D、 $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$

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7. 已知点A(－2，3)在抛物线C：y²＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P ， Q是C上位于x轴上方的任意两点，且 $P F_{1} // Q F_{2}$ ．若 $| P F_{1} | + | Q F_{2} | \geq b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1} ： 4 x - 3 y + 4 = 0 ， l_{2} ： (m + 2) x - (m + 1) y + 2 m + 5 = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线 $l_{2}$ 过定点 $(- 3 ， - 1)$ B、当 $m = 1$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、当 $m = 2$ 时， $l_{1} ∥ l_{2}$ D、当 $l_{1} ∥ l_{2}$ 时，两直线 $l_{1} ， l_{2}$ 之间的距离为1

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10. 已知方程 $F$ ： $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (m n \neq 0)$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m + n = 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是圆 B、若 $m n > 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是双曲线，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{n}{m}} x$ C、若 $m n < 0$ 且 $m + n \neq 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是椭圆 D、若 $0 < m < 1$ 且 $n < - 1$ ，则方程 $F$ 表示的图形是离心率为 $\sqrt{1 + \frac{m}{n}}$ 的椭圆

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11. 已知直线 $l$ ： $k x - y - 4 k + 3 = 0 (k \in R)$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ ， $O$ 是坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 1$ 时，直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为1 B、 $O$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为5 C、存在实数 $k$ ，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 D、当 $k = 1$ 时，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短

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12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，其轨迹为一条连续的封闭曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， 1)$ 和 $(0 ， - 1)$ B、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称，不关于 $x$ 轴对称 C、坐标原点 $O$ 是曲线 $C$ 的对称中心 D、 $| O P |$ 的取值范围为 $[1 ， 3]$

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三、填空题

13. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 4 m^{2} - m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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14. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (3 ， t)$ 与焦点F的距离 $| M F | = p$ ，则M到坐标原点的距离为.

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15. 已知直线 $k x - y + 2 k = 0$ 与直线 $x + k y - 2 = 0$ 相交于点 $P$ ，点 $A (4 ， 0)$ ， $O$ 为坐标原点，则 $t a n ∠ O A P$ 的最大值为.

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的上顶点为 $A$ ，两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D ， E$ 两点，则 $△ A D E$ 的周长为..

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四、解答题

17. 设 $k$ 为实数，已知直线 $l_{1}$ ： $y = k x + 3$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{k} x - 5$ .

(1)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，求 $k$ 的值；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点在直线 $y = x$ 上，求 $k$ 的值.

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18. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ 和圆 $N$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $P (0 ， - 3)$ ，且被圆 $M$ 截得的弦长为4，求 $l$ 的方程：

(2)、求圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦的长.

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19.

(1)、已知圆经过三点 $A (1 ， 12)$ ， $B (7 ， 10)$ ， $C (- 9 ， 2)$ ，求该圆的方程；

(2)、若一个圆过点 $P (3 ， - 1)$ ，且与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ 相切于点 $M (1 ， 2)$ ，求此圆的方程.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C$ ： $y^{2} = a x (a > 0)$ 的焦点 $F$ 到其准线的距离为2，直线 $l$ 过点 $P (0 ， 1)$ 且与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点.

(1)、求 $a$ 的值及直线 $l$ 的斜率的取值范围；

(2)、若 $| A F | + | B F | = 8$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $x = 4$ ，动点P到点F的距离是到直线 $l$ 的距离的 $\frac{1}{2}$ ，点P的轨迹记为曲线C.

(1)、求曲线C的方程

(2)、已知 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，点M是曲线C上异于A、B的任意一点，
①求证：直线AM，BM的斜率之积为定值：
②设直线AM与直线 $l$ 交于点N，求证： $∠ M F B = 2 ∠ N F B$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共顶点 $(2 ， 0)$ ，且 $C_{1}$ 的短轴长为2， $C_{2}$ 的一条渐近线为 $x - 2 y = 0$ .

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程：

(2)、设 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆 $C_{1}$ 上任意一点，判断直线 $\frac{x_{0} x}{4} + y_{0} y = 1$ 与椭圆 $C_{1}$ 的公共点个数并证明；

(3)、过双曲线 $C_{2}$ 上任意一点 $Q (m ， n) (n \neq 0)$ 作椭圆 $C_{1}$ 的两条切线，切点为 $S$ 、 $T$ ，求证：直线 $S T$ 与双曲线 $C_{2}$ 的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

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