黑龙江省齐齐哈尔市八校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线l₁的一个方向向量 $\vec{a}$ ＝(2，4，x)，直线l₂的一个方向向量 $\vec{b}$ ＝(2，y，2)，若| $\vec{a}$ |＝6，且l₁⊥l₂ ，则x＋y的值是（）

A、－3或1 B、3或－1 C、－3 D、1

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2. 光线从 $A (- 3 ， 4)$ 点射出，到 $x$ 轴上的 $B$ 点后，被 $x$ 轴反射到 $y$ 轴上的 $C$ 点，又被 $y$ 轴反射，这时反射线恰好过点 $D (- 1 ， 6)$ ，则 $B C$ 所在直线的方程是（）

A、 $5 x - 2 y + 7 = 0$ B、 $3 x + y - 1 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 4 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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3. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是两个定点，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 a$ （ $a$ 是正常数），动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = a^{2} + 1$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、线段 C、椭圆或线段 D、直线

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4. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $A B = A C$ ，且直线A₁B与平面ABC所成的角为 $4 5^{∘}$ ， D为 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} B$ 与AD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$ D、 $- \frac{\sqrt{10}}{20}$

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6. 已知点 $A (2, 2), B (- 1, 3)$ ，若直线 $k x - y - 1 = 0$ 与线段 $A B$ 有交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- 4, \frac{3}{2})$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $[- 4, \frac{3}{2}]$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，过点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{0}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相交的弦长为 $\sqrt{3} b$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ A B C$ 为边长为 $3$ 的等边三角形， $D$ 是线段 $A B$ 的中点， $D E ∩ P B = E$ ，且 $D E ⊥ A B$ ， $P A = \frac{3}{2}$ ， $P B = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $P A$ 与平面 $C D E$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点，椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $12$ B、 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = 2 \sqrt{2}$ C、点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 2$

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11. 圆 $Q_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为A，B，则（）

A、公共弦AB所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段AB中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦AB的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、P为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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12. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，则下列说法错误的是

A、 $y - x$ 的最大值为 $\sqrt{6} - 2$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为 $7 + 4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $x + y$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l_{1} ： x + a y = 0$ 和直线 $l_{2} ： 2 x - (a - 3) y - 4 = 0$ ， $a \in R$ ，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为.

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14. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC= $\sqrt{2}$ ，则四面体PABC的外接球的表面积为.

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15. 圆心在直线 $x - y - 4 = 0$ 上，且过两圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 y - 6 = 0$ 的交点的圆的方程为.

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16. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P ， Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为．

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四、解答题

17. 已知直线 $l ： 4 x + 3 y + 10 = 0$ ，半径为2的圆C与 $l$ 相切，圆心C在 $x$ 轴上且在直线 $l$ 右上方.

(1)、求圆C的方程；

(2)、问题：是否存在__________的直线 $l_{1}$ 被圆C截得的弦长等于 $2 \sqrt{3}$ ？若存在，则求直线 $l_{1}$ 的方程；若不存在，请说明理由.请从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.
①过点 $(1 ， 1)$ ；②在 $x$ 轴上的截距和在 $y$ 轴上的截距相等；③方程为 $(3 k + 2) x + (2 k - 2) y + k - 1 = 0$ .

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18. 已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．

(1)、求动点M的轨迹C的方程；

(2)、过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．

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19. 如图，四边形ABCD是正方形， $E A ⊥$ 平面ABCD， $E A / / P D$ ， $A D = P D = 2 E A = 2$ ， $F ， G ， H$ 分别为 $P B ， E B ， P C$ 的中点．

(1)、求证： $F G / /$ 平面PED；

(2)、求平面 $F G H$ 与平面 $P B C$ 夹角的大小．

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 $6 + 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： x = k y + m$ 与椭圆 $M$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆经过椭圆的右顶点 $C$ ，求 $m$ 的值．

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21. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左焦点 $F_{1}$ 到点 $P (2 ， 1)$ 的距离是 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + m$ 被圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ 截得的弦长为3，且 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求△ $A O B$ 面积 $S$ 的最大值．

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22. 如图1，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，过 $A ， B$ 分别作 $A E ⊥ C D$ ， $B F ⊥ C D$ ，垂足分别 $E ， F . A B = A E = 2$ ， $C D = 5$ ，已知 $D E = 1$ ，将梯形 $A B C D$ 沿 $A E ， B F$ 同侧折起，得空间几何体 $A D E -$ $B C F$ ，如图2．

(1)、若 $A F ⊥ B D$ ，证明： $D E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、若 $D E / / C F$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 上存在一点 $P$ ，满足 $C P$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ ，求 $A P$ 的长．

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