河北省邢台市六校联考2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则该圆的圆心和半径分别是（）

A、 $(1 ， - 2)$ ， 5 B、 $(- 1 ， 2)$ ， 5 C、 $(- 1 ， 2)$ ， $\sqrt{5}$ D、 $(1 ， - 2)$ ， $\sqrt{5}$

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2. 如果方程 $k x^{2} + y^{2} = 2$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，那么实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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3. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A、 ${\vec{a} + \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c}}$ B、 ${\vec{c} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b}}$ C、 ${\vec{a} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b}}$ D、 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c}}$

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4. 航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 $m$ ，近地点与地球表面的距离为 $n$ ，设地球的半径为 $r$ ，试用 $m$ ， $n$ ， $r$ 表示出地球同步转移轨道的短轴长为（）

A、 $\sqrt{(m + r) (n + r)}$ B、 $2 \sqrt{(m + r) (n + r)}$ C、 $\sqrt{m n}$ D、 $2 \sqrt{m n}$

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5. 一束光线从点 $P (- 1 ， 2)$ 出发，经 $x$ 轴反射到圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 23 = 0$ 上的最短距离为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2} - 2$ D、 $5 \sqrt{2} + 2$

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6. 已知 $F$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，经过原点的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M$ ､ $N$ 两点，若 $| M F | = 3 | N F |$ ，且 $∠ M F N = 90 °$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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7. 已知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，焦距为4的椭圆被直线 $l$ ： $y = x + 3$ 截得的弦的中点的横坐标为-2，则此椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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8. 曲线 $y = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ 与直线 $y = \sqrt{3} x - b$ 有两个不同的交点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， \sqrt{3} - 1]$ B、 $[\sqrt{3} - 1 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(1 ， \sqrt{3} + 1]$

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二、多选题

9. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（）

A、 $| P F_{1} |$ 的范围是 $[1 ， 3]$ B、存在点 $P$ ，使 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ C、弦长 $| A B |$ 的最小值为3 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ､ $F$ 分别为 $B C$ ､ $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点，则下列选项正确的是（）

A、 $B B_{1} ⊥ A F$ B、点 $D_{1}$ 在平面 $A E F$ 内 C、三棱锥 $G - A E F$ 的体积为定值 D、若 $G$ 为 $B B_{1}$ 中点，则 $A_{1} G ∥$ 平面 $A E F$

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11. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、圆 $C$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称的圆的方程为 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 2$ B、直线 $x - y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 的相交弦长为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、若点 $P (x ， y)$ 是圆 $C$ 上的动点，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$ D、若圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $x + y + m = 0$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $m = - 1$ 或-3

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12. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $x = 4$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的一半.若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 是“最远距离直线” C、平面上有一点 $A (- 1 ， \sqrt{2})$ ，则 $| P A | + 2 | P F |$ 的最小值为5 D、点 $P$ 的轨迹到直线 $x - 2 y + 6 = 0$ 距离的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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三、填空题

13. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 3)$ ，则长轴长为.

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14. 过点 $M (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线方程是．

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15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P C = 2$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点，则异面直线 $E C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值是.

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16. 设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的任一点， $E F$ 为圆 $C$ ： ${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} = 1$ 的任一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为.

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四、解答题

17.

(1)、已知点 $A (- 1 ， 1)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + m = 0$ 外，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、已知椭圆 $x^{2} + n y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，求实数 $n$ 的取值.

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18. 已知圆 $C$ 经过原点且与直线 $x - y - 4 = 0$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x + y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(2 ， 1)$ ，并且被圆 $C$ 截得的弦长为2，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 过椭圆的右焦点 $F$ 交椭圆于 $A$ ､ $B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积.

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20. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C ∥ A D$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $M$ 为线段 $A D$ 中点，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，使 $A B ⊥ C D$ ，得到几何体 $B - A C D$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值.

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21. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、过点 $M (4 ， 2)$ ，作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若点 $G$ 是圆 $C$ 上的任意一点， $N (- 1 ， 0)$ ，是否存在定点 $P$ ，使得 $\frac{| G N |}{| G P |} = \frac{1}{2}$ 恒成立，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且焦距为2，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点（异于椭圆的左､右顶点）， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ .

(1)、证明： $S_{△ F_{1} P F_{2}} = \frac{b^{2} s i n θ}{1 + c o s θ}$ ；

(2)、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 30 °$ ， $S_{△ F_{1} P F_{2}} = 2 - \sqrt{3}$ ，过椭圆 $C$ 左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两点 $A ， B$ ，在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值?若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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