河北省沧州市东光县2022-2023学年高二上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $M (- 2 ， 3 ， 1)$ 关于z轴的对称点是（）

A、 $(- 2 ， - 3 ， - 1)$ B、 $(2 ， - 3 ， 1)$ C、 $(2 ， - 3 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 3 ， 1)$

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2. 直线 $x c o s 1 0^{°} + y s i n 8 0^{°} - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $1 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $8 0^{°}$ D、 $13 5^{°}$

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3. 直线 $2 x + m y + 1 = 0$ 与直线 $m x - m^{2} y + 2 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm 2$

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4. 已知 $\vec{a} = (3 ， 0 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， x ， 1) ， \vec{c} = (- 2 ， 4 ， y) ， (\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c} ，$ 则 $x + y =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、0

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5. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + k y + k - 1 = 0$ 的面积是 $π$ ，则该圆的圆心坐标为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A P$ 与 $B A_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知点 $A ， B ， C$ 不共线， $O$ 是空间任意一点，点 $P$ 在平面 $A B C$ 内，且 $\vec{O P} = y \vec{O A} - x^{2} \vec{O B} + x \vec{O C}$ ，则（）

A、 $y$ 有最小值 $\frac{3}{4}$ B、 $y$ 有最大值 $\frac{3}{4}$ C、 $y$ 有最小值1 D、 $y$ 有最大值1

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8. 点 $A (2 ， 0)$ 到直线 $l$ 的距离为1，且直线 $l$ 与圆 $C ： (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，若这样的 $l$ 有四条，则 $r$ 的取值范围是（）

A、（0，2） B、（0，3） C、（0，4） D、（0，5）

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二、多选题

9. 在棱长均为1的四面体 $A B C D$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ B、 $\vec{A D} + \vec{D C} + \vec{B A} + \vec{C B} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = \vec{C B} \cdot \vec{C D}$ D、 $| 2 \vec{A B} + \vec{B C} | = 2$

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10. 已知直线 $l ： (m - 3) x + (2 m + 1) y = 2 m + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $m$ ，使 $l$ 与直线 $x + 2 y = 0$ 平行 B、 $l$ 恒过定点（0，1） C、存在 $m$ ，使 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、存在 $m$ ，使 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得弦长为4

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点， $N$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上（含边缘）的动点，若 $B M ⊥ A_{1} N$ ，则点 $N$ 到平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的距离可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{π}{2}$

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12. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.定义：平面上到两定点距离之比是常数 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ 的动点的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆.设 $A (- 4 ， 0) ， B (- 1 ， 0)$ ，满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = 2$ 的点 $M (x ， y)$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆 $C$ ，该圆与 $x$ 轴交于 $P ， Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左边），则下列结论正确的是（）

A、圆 $C$ 的半径为2 B、过 $A$ 点向圆 $C$ 引两条切线， $A$ 与两个切点构成等腰直角三角形 C、若 $P ， Q$ 与 $M$ 不重合，则 $M P$ 平分 $∠ A M B$ D、圆 $C$ 上存在两个 $M$ 点，使得 $| A M |^{2} = | A P | \cdot | A Q |$

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三、填空题

13. 已知两点 $M (m + 2 ， m^{2}) ， N (1 ， 1)$ ，若直线 $M N$ 的斜率为 $- 2 m$ ，则 $m =$ .

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14. 点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，点 $Q$ 在直线 $3 x + 4 y - m = 0$ 上运动，若 $| P Q |$ 的最小值是1，则 $m =$ .

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15. 若方程 $\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{3} x + b$ 有实数解，则 $b$ 的取值范围是．

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16. 球 $O$ 上有四点 $P ， A ， B ， C$ ，且 $P A ， P B ， P C$ 两两垂直， $P A = P B = 2 ， P C = 4$ ，四面体 $O A B C$ 的体积等于.

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四、解答题

17. 已知直线 $l ： 2 x + y + 6 = 0$ ， $P (2 ， 4)$

(1)、求经过点 $P$ 且与 $l$ 平行的直线方程；

(2)、求经过点 $P$ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

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18. 如图，三棱锥 $O - A B C$ 的侧棱 $O A ， O B ， O C$ 的长度分别为1，2，3，并且 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C = 6 0^{°}$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求直线 $O C$ 与直线 $A B$ 所成角的余弦值.

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19. 已知圆 $C$ 经过点 $A (0 ， 0)$ ， $B (3 ， - 1)$ 和 $D (6 ， 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(0 ， - 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为8，求直线 $l$ 的方程.

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20. 在棱长均为6的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $E$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ .

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $D A_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图一，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D = D C = C B = \frac{1}{2} A B = 2 ， E$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到点 $P$ 的位置，且 $P B = \sqrt{10}$ ，如图二.

(1)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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22. 已知 $A (4 ， 0)$ ，圆 $C ： x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ 上有一动点 $B$ ，设线段 $A B$ 的中点为 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过原点 $O$ 作 $E$ 的两条弦 $O M$ 、 $O N$ ，若 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $2$ ，证明：直线 $M N$ 过定点.

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