贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷（A）

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为（）

A、 $(- 1 ， 0 ， 8)$ B、9 C、－7 D、7

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2. 已知向是 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， 4)$ ，且 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数m的值为（）

A、2 B、4 C、－2或4 D、 $\frac{4}{3}$

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3. 直线 $x + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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4. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ， M，P分别是 $A A_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $\vec{M P} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知直线 $l$ 过点 $P (3 ， 4)$ ，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线 $l$ 有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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6. 关于 $x$ 的方程 $\sqrt{1 - x^{2}} = m x + 1 (m \in R)$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1]$

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7. 已知函数 $f (x - 2)$ 是偶函数，当 $x_{1} < x_{2} < - 2$ 时， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ 恒成立，设 $a = f (- \frac{5}{2})$ ， $b = f (- 1)$ ， $c = f (2)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则 ${| Q R |}^{2} = | Q C | \cdot | Q D |$ ．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点P是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的任意一点，过点 $B (1 ， 0)$ 作直线BT垂直AP于点T，则 $2 | P A | + 3 | P T |$ 的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知两条平行直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x - y + m = 0$ 之间的距离小于 $\sqrt{2}$ ，则实数m的值可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、－1

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10. 已知函数 $f (x) = t a n (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 1$ B、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 图象的对称中心的坐标都可以表示为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、当 $ω = \frac{1}{2}$ 时， $f (- π) < f (- \frac{π}{6})$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， π)$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$

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11. 过点 $P (2 ， 0)$ 作直线与圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16$ 相交于A，B两点，则（）

A、弦AB的长度的最小值为 $\sqrt{6}$ B、当弦AB最短时弦所在的直线方程为 $x + 3 y - 2 = 0$ C、弦AB的长度的最小值为 $2 \sqrt{6}$ D、当弦AB最短时弦所在的直线方程为 $x - 3 y - 2 = 0$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2，E､F､G､H分别为 $C C_{1}$ ､ $B C$ ､ $C D$ ､ $B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B_{1} G ⊥ E F$ B、 $A_{1} H / /$ 平面 $A E F$ C、点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离为2 D、二面角 $E - A F - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$

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三、填空题

13. 过点 $(2 ， 4)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，则切线方程为．

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14. 已知圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 5$ 关于直线 $2 a x + y + b - 3 = 0$ （a，b为大于0的数）对称，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知 $z_{1} = (m - 3) + (m^{2} + m - 2) i$ ， $z_{2} = (2 m - 4) + (m^{2} + m - 2) i$ ，且 $z_{1} > z_{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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16. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M$ ， $N$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $Q$ 是该正方体表面上的一点，若 $\vec{M Q} = x \vec{M G} + y \vec{M N} (x ， y \in R)$ ，则点 $Q$ 的轨迹围成图形的面积是； $\vec{M G} \cdot \vec{M Q}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (6 ， 4)$ ， $H (5 ， 2)$ ， H是 $△ A B C$ 的垂心．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程．

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：EF//平面ABCD；

(2)、求直线DE，BF所成角的余弦值．

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19. 2022年11月卡塔尔世界杯即将到来，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段： $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求m的值并估计这1000名观众评分的中位数；

(2)、若评分在“90分及以上”确定为“足球发烧友”，现从“足球发烧友”中按区间 $[90 ， 95)$ 与 $[95 ， 100]$ 两部分按比例分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间 $[90 ， 95)$ 的概率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面PAD，E是 $P B$ 的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且 $P D = A D$ ， $A B = 2 D F = 6$ .

(1)、求证：平面 $E F G ⊥$ 平面PAB；

(2)、若 $P A = 4$ ， $P D = 3$ ，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的中点， $s i n^{2} C + s i n^{2} B + s i n C \cdot s i n B = s i n^{2} A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求A的大小及 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $A D$ 的长．

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22. 如图，已知圆 $M ： x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ，点 $P (- 1 ， t)$ 为直线 $l ： x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为A，B

(1)、求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)、求线段AB中点的轨迹方程；

(3)、若两条切线 $P A ， P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S ， T$ 两点，求 $| S T |$ 的最小值.

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