北京市房山区2022-2023学年高二上学期数学学业水平调研（期中）考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A (1 ， - 1 ， 3) ， B = (0 ， 2 ， - 1)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 3 ， - 4)$ B、 $(- 1 ， 3 ， - 4)$ C、 $(1 ， - 3 ， - 4)$ D、 $(- 1 ， - 3 ， 4)$

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2. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， B C = 2 ， A A_{1} = 1$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D_{1}$ 的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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3. 已知 $\vec{m} = (x ， - 2 ， 5) ， \vec{n} = (1 ， 4 ， - 10)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 如果空间向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，且 $\vec{a} - y \vec{b} = x \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，那么 $x ， y$ 的值分別是（）

A、 $x = - 1 ， y = 3$ B、 $x = - 1 ， y = - 3$ C、 $x = 1 ， y = - 3$ D、 $x = 1 ， y = 3$

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5. 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是线段BC，CD₁的中点，则直线A₁B与直线EF的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、平行 D、垂直

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6. 用 $a 、 b 、 c$ 表示三条不同的直线， $β$ 表示平面，给出下列命题中正确的是（）
①若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ； ②若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ ；
③若 $a / / β$ ， $b / / β$ ，则 $a / / b$ ④若 $a ⊥ β$ ， $b ⊥ β$ ，则 $a / / b$

A、①② B、②③ C、①④ D、③④

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7. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $m$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内，直线 $b$ 在平面 $β$ 内，且 $b ⊥ m$ 则“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分不必要条件

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8. 如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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9. 在四面体 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A C ， B D$ 的中点若 $A B = 2 ， C D = 4 ， E F ⊥ A B$ ，则 $E F$ 与 $C D$ 所成角的度数是（）

A、 $9 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $4 5^{∘}$ D、 $3 0^{∘}$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若棱长为1，E、F分别为线段 $B_{1} D_{1}$ 、 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论中错误的是（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、平面 $A_{1} C_{1} B ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点F到平面 $A C D_{1}$ 的距离为定值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线AE与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为定值 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

11. 已知空间向量 $\vec{n} = (2 ， - 1 ， - 2)$ ，则 $| \vec{n} | =$ .

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12. 若向量 $\vec{m} = (- 4 ， 0 ， 2) ， \vec{n} = (3 ， - 2 ， 1)$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} =$ .

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13. 设 $\vec{v_{1}} = (1 ， 2 ， - 2) ， \vec{v_{2}} = (- 2 ， 3 ， 2)$ 分别是空间两直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的方向向量，则直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 所成角的大小为.

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14. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.

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15. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点 $P$ 在侧面 $A_{1} A B B_{1}$ 上．若点 $P$ 到直线 $A A_{1}$ 和 $C D$ 的距离相等，则 $A_{1} P$ 的最小值是．

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16. 已知平面 $α ， β$ 和直线 $m$ ，给出条件：
① $m ∥ α$ ；② $m ⊥ α$ ；③ $m \subset α$ ；④ $α ⊥ β$ ；⑤ $α ∥ β$ ．

(1)、当满足条件时，有 $m ∥ β$ ；

(2)、当满足条件时，有 $m ⊥ β$ ．（填所选条件的序号）

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，过 $B C$ 的平面与侧棱 $P D ， P A$ 的交点分别是 $E ， F$ .

(1)、证明： $E F ∥ B C$ ；

(2)、若 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ .

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18. 在如图所示的几何体中，正方形 $A B C D$ 与梯形 $A B E F$ 所在平面相交， $E B / / F A$ ， $F A = A B = \frac{1}{2} E B$ .

(1)、证明： $D F / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，试求异面直线 $E D$ 与 $C F$ 所成角的余弦值.

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $E F ∥ A B$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $C D ⊥ M D$ ；

(2)、若 $E F = E C$ ，求证：平面 $N F C ⊥$ 平面 $N E D$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 在线段 $P B$ 上， $P D$ ∥平面 $M A C ， P A = P D = \sqrt{6} ， A B = 4$ .

(1)、求证： $M$ 为 $P B$ 的中点；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的大小.

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21. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求直线BE与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角的正弦值；

(2)、在棱 $C_{1} D_{1}$ 上是否存在一点F，使 $B_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ？证明你的结论.

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