山东省潍坊市青州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）

A、甲与丙 B、甲与乙 C、乙与丙 D、三个矩形都不相似

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2. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A、25° B、50° C、65° D、75°

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3. 如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（）

A、1：4 B、1：3 C、1：2 D、1：9

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4. 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）

A、3.1 B、4.2 C、5.3 D、6.4

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5. 如图，某校教学楼 $A B$ 与 $C D$ 的水平间距 $B D = a m$ ，在教学楼 $C D$ 的顶部 $C$ 点测得教学楼 $A B$ 的顶部 $A$ 点的仰角为 $α$ ，测得教学楼 $A B$ 的底部 $B$ 点的俯角为 $β$ ，则教学楼 $A B$ 的高度是（）

A、 $(a t a n α + a t a n β) m$ B、 $(\frac{a}{t a n α} + \frac{a}{t a n β}) m$ C、 $(a s i n α + a s i n β) m$ D、 $(a c o s α + a c o s β) m$

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6. 我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图 $A B = D E = 5$ 尺， $B F = 0.4$ 尺，问井深 $B D$ 是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（）

A、 $\frac{5}{5 + x} = \frac{0.4}{5}$ B、 $\frac{5}{x} = \frac{0.4}{5}$ C、 $\frac{x}{5 + x} = \frac{5}{0.4}$ D、 $\frac{5}{x} = \frac{5 - 0.4}{0.4}$

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7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则 $\sin ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图，已知点A（-6，0），B（2，0），点C在直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图， $△ A B C$ 中，点D是边 $B C$ 上一点，下列条件中，不能判定 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 相似的是（）

A、 $A B^{2} = B D \cdot B C$ B、 $∠ B D A = ∠ B A C$ C、 $∠ A D C = ∠ C + ∠ B$ D、 $A D \cdot B C = A B \cdot A C$

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二、多选题

10. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边， $∠ C = 90 °$ ，下列各式不一定成立的是（）

A、 $a = b \cdot c o s A$ B、 $a = c \cdot c o s B$ C、 $c = \frac{a}{s i n A}$ D、 $b = a \cdot t a n A$

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点， $A E$ 交 $B F$ 于点H， $C G ∥ A E$ 交 $B F$ 于点G，下列结论正确的是（）

A、 $s i n ∠ H B E = c o s ∠ H E B$ B、 $C G \times B F = C D \times C F$ C、 $B H = F G$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点G，点F是CD上一点，且满足 $\frac{C F}{F D} = \frac{1}{3}$ ，连接AF并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接AD、DE，若 $C F = 2 ， A F = 3$ ．下列结论正确的是（）

A、 $S_{△ D A F} = 6 \sqrt{5}$ B、 $A D^{2} = A F \cdot A E$ C、 $t a n ∠ E = \frac{\sqrt{5}}{4}$ D、DC平分 $∠ A D E$

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三、填空题

13. 如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是．

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14. 如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是．

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15. 如图， $△$ ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下 $△$ AMN，则剪下的三角形的周长为．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A B = 2 \sqrt{10}$ ，连结 $A B$ 并延长至C，连结 $O C$ ，若满足 $O C^{2} = B C \cdot A C$ ， $t a n α = 3$ ，则点C的坐标为．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $t a n 30 ° s i n 60 ° - c o s^{2} 45 ° + t a n 45 °$ ；

(2)、 $\sqrt{{(t a n 6 0^{∘} - 1)}^{2}} + | 1 - c o s 60 ° | - 2 t a n 45 ° \cdot c o s 30 °$ ．

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18. 如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．

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19. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D、E在BC上，且AB＝BD＝EC＝DE，求证：

(1)、△ADE∽△CDA；

(2)、∠C+∠AEB＝45°．

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20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作 $C E ∥ D A$ ．交BA的延长线于点E．…
任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；

(2)、如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．

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21. 图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中 $B E ∥ C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $E D ⊥ C D$ ， $A B ＝ C D ＝ 3.3 m$ ， $B C ＝ 1 m$ ，现由于故障， $A B$ 不能完全升起， $∠ A B E$ 最大为 $42 °$ ．

(1)、求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．

(2)、若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据： $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ）

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22. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 交于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为E， $E D$ 的延长线与 $A B$ 的延长线交于点F．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $\frac{7}{2}$ ， $B D = 3$ ，求 $C E$ 的长．

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23.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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