山东省青岛市市北区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x + y = 1$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$

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2. 如果 $\frac{2 x + y}{y} = \frac{4}{3} ，$ 则 $\frac{x}{y}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、6

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3. 方程x²-2x-24＝0的根是（）

A、x₁＝6，x₂＝4 B、x₁＝6，x₂＝-4 C、x₁＝-6，x₂＝4 D、x₁＝-6，x₂＝-4

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4. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）

A、度量四个内角是否相等 B、测量两条对角线是否相等 C、测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D、将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合

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5. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（）

A、55° B、65° C、75° D、85°

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6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则正确的方程是（）

A、 $3 (x - 1) x = 6210$ B、 $3 (x - 1) = 6210$ C、 $(3 x - 1) x = 6210$ D、 $3 x = 6210$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为1，以 $A C$ 为边作第2个正方形 $A C E F$ ，再以 $C F$ 为边作第3个正方形 $F C G H$ ， ……，按照这样的规律作下去，第2022个正方形的边长为（）

A、 $(2 \sqrt{2})^{2019}$ B、 $(\sqrt{2})^{2021}$ C、 $(2 \sqrt{2})^{2020}$ D、 $(\sqrt{2})^{2022}$

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，过A作 $A M ⊥ B C$ 于M，交BD于E，过C作 $C N ⊥ A D$ 于N，交BD于F，连结AF、CE，则下列结论中正确的个数是（）
① $Δ A B E ≌ Δ C D F$ ；②四边形 $A E C F$ 是平行四边形；③当 $A B = A D$ 时，四边形 $A E C F$ 是菱形；④当M、N分别是 $B C 、 A D$ 中点时，四边形 $A M C N$ 是正方形；

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

9. 已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=10cm，则AC=.

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10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和50%，则口袋中白色球的个数可能是个．

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11. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为.

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12. 为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校两名互不相识的同学王明和李强，随机进入学校，二人恰好均从A通道入校的概率是．

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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14. 如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为m．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，E是边 $B C$ 上一点， $B E = 1$ ，将 $A B$ 沿 $A E$ 折叠到 $A G$ ，延长 $E G$ 交 $C D$ 于点F．过点E作 $E H ⊥ A E$ ，交 $C D$ 于点P，交 $A F$ 的延长线于点H，则 $S_{E P F} ： S_{A E H}$ = ．

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16. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是．

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三、解答题

17.
用圆规、直尺作图，不写作法，但到保留作图痕迹．
已知：线段a，
求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．

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18. 用合适的方法解下列方程

(1)、 $4 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = 5 (3 - x)$

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，E为线段 $C B$ 延长线上一点，连结 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点F， $∠ A D E = ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $\frac{A C}{E C} = \frac{B C}{C F}$ ；

(2)、如果 $A C = D E ， ∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ D F C$ =度．

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20. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0， $- 1$ ；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y（指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘）．小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．

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21. 如图，矩形 $A B C D ≌$ 矩形 $A E C F$ ， $A F$ 与 $B C$ 相交于G， $E C$ 与 $A D$ 相交于H．请判断并证明四边形 $A G C H$ 的形状．

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22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元之间，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．

(1)、若y（个）表示这种台灯平均每月的销量，x（元）表示这种台灯的售价，求y与x的函数关系式；

(2)、为了实现平均每月12000元的销售利润，求这种台灯的售价应定为多少元．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 5$ ， E是 $A D$ 上一点，且 $D E = 3$ ，动点P从点B出发，沿 $B C$ 方向以每秒3个单位的速度向点C运动，动点Q从点D出发，沿 $D A$ 向以每秒1个单位的速度向点A运动，过点P作 $P F$ $∥$ $C E$ 交 $A B$ 于点F，过点F作 $F G$ $∥$ $B C$ 交 $C E$ 于点G，连接 $F Q 、 C Q$ ．当点F与点A重合时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)、 $B F$ =（用含t的代数式表示）；t的取值范围是；

(2)、是否存在某一时刻t，使得 $S_{P F Q C} ： S_{A B C D} = 13 ： 20$ 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、连接 $P G$ 、 $G Q$ ，是否存在某一时刻t，使 $P 、 G 、 Q$ 在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

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24. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a ， b) ， B (c ， d)$ ，若点 $T (x ， y)$ 满足 $x = \frac{a + c}{3} ， y = \frac{b + d}{3}$ ，那么称点T是点A，B的“相似点”．
例如： $A (- 1 ， 8) ， B (4 ， - 2)$ ，当 $T (x ， y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 4}{3} = 1 ， y = \frac{8 + (- 2)}{3} = 2$ 时，则点 $T (1 ， 2)$ 是点A，B的“相似点”．

(1)、已知点 $A (- 1 ， 5) ， B (7 ， 7) ， C (2 ， 4)$ ，请说明其中一个点是另外两个点的“相似点”．

(2)、如图，点 $D (3 ， 0)$ 在x轴上，点 $E (t ， 2 t + 3)$ 是直线l上任意一点，点 $T (x ， y)$ 是点D，E的“相似点”．
①试确定y与x的关系式．

②若直线 $E T$ 交x轴于点H，当 $△ D T H$ 为直角三角形时，请直接写出点E的坐标．

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