山东省济南市长清区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（）

A、x₁＝﹣2，x₂＝3 B、x₁＝2，x₂＝3 C、x₁＝﹣2，x₂＝﹣3 D、x₁＝2，x₂＝﹣3

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3. 已知 $\frac{m}{n} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{m - n}{n}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线AC和DF被 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 所截， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $D E = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、12 B、3 C、 $\frac{16}{3}$ D、5

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5. 如图，以点O为位似中心，作四边形 $A B C D$ 的位似图形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{1}{3}$ ，四边形 $A B C D$ 的面积是2，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是（）

A、4 B、6 C、8 D、18

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6. 已知 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C < B C$ ，若 $A B = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $3 - \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在 $A B$ 外选一点C，在 $A C$ 、 $B C$ 上分别找点M，N，使得 $A M = 2 C M$ ， $B N = 2 C N$ ，测量出 $M N$ 的长为 $12 m$ ，由此可知A、B间的距离为（）

A、 $18 m$ B、 $24 m$ C、 $36 m$ D、 $48 m$

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8. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（）

A、30（1+x）²＝50 B、30（1﹣x）²＝50 C、30（1+x²）＝50 D、30（1﹣x²）＝50

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9. 如图， $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线 $E F$ 交 $A D$ 于点M，交 $B C$ 于点N，若 $A M = 8$ ， $D M = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、6 B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{15}$

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10. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为4，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点 $M 、 N$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点， $∠ B A C = ∠ M A N = 60 °$ ，连接 $M N 、 O M$ ， $M N$ 与 $A C$ 相交于点E．以下四个结论：① $△ A M N$ 点是等边三角形；② $M N$ 的最小值是 $2 \sqrt{3}$ ；③若 $B M = 3$ 时， $C E = \frac{3}{4}$ ；④当 $O M ⊥ B C$ 时， $O A^{2} = D N · A B$ ．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = 0$ 的一个根是2，则a的值是；

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12. 四条线股a、b、c、d成比例，其中 $a = 3$ cm， $c = 6$ cm， $d = 8$ cm，则b的长为．

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13. 在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸棋实验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在20%，估计白色棋子的个数为；

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14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．

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15. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 $O A$ 、 $O B$ ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 $C D$ ．测得 $M C = 8.5 m$ ， $C D = 13 m$ ，垂直于地面的木棒 $E F$ 与影子 $F G$ 的比为 $2 ： 3$ ．则点O、M之间的距离等于m；

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16. 如图， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，分别取 $A C 、 B C$ 边的中点D、E，连接 $D E$ ，作 $E F ∥ A C$ 得到四边形 $E D A F$ ，它的周长记作 $C_{1}$ ；分别取 $E F ， B E$ 的中点 $D_{1} ， E_{1}$ ，连接 $D_{1} E_{1}$ ，作 $E_{1} F_{1} ∥ E F$ ，得到四边形 $E_{1} D_{1} F F_{1}$ ，它的周长记作 $C_{2}$ ， …，照此规律作下去，则 $C_{2022}$ 等于．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

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18. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ ，且 $a ＋ 3 b - 2 c = 2$ ，求 $a - b ＋ c$ 的值是多少？

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19. 如图， $E 、 F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ ，求证： $△ A B E ≅ △ C D F$ ；

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，连接 $D E$ ，且 $∠ A E D = ∠ B$ ， $A D = 6$ ， $A B = 8$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

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21. 如图，一路灯 $A B$ 与墙 $O P$ 相距20米，当身高 $C D = 1.6$ 米的小亮在离墙17米的D处时，影长 $D G$ 为1米．

(1)、求路灯B的高度；

(2)、若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）

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22. 如图，用一段长为 $16 m$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长 $8 m$ ），若这个围栏的面积为 $30 m^{2}$ ，求与墙垂直的一边的长度．

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (4 ， 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (1 ， 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、以原点O为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使它与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的相似比为 $3 ： 1$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标；

(3)、在 $△ A B C$ 内有一点 $P (x ， y)$ ，按（1）与（2）的方式得到的对应点 $P_{2}$ 的坐标是．

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24. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生数是人，圆心角β=度；

(2)、补全条形统计图；

(3)、已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？

(4)、若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．

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25. 如图， $△ A B C$ 的三边长分别为a、b、c（ $a > b > c$ ）， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三边长分别为 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $c_{1}$ _．已知 $△ A B C ∽ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，相似比为 $k (k > 1)$ ．

(1)、若 $c = a_{1} = 2$ ， $a = 5$ ，求 $c_{1}$ 的值．

(2)、若 $c = a_{1}$ ，求证： $a = k c$ ；

(3)、若 $c = a_{1}$ ，试给出符合条件的一对 $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使得a、b、c和 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $c_{1}$ 都是正整数；

(4)、若 $b = a_{1} ， c = b_{1}$ ，是否存在 $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 使得 $k = 2$ ？并请说明理由．

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26. 解答题

(1)、如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D$ 、 $C E$ ，求证， $B D = C E$ ；

(2)、[类比探究]
如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ，连接 $B D ， C E$ ．求 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、[拓展提升]
如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ， $\frac{A C}{A B} = \frac{A E}{A D} = 2$ ．连接 $B D 、 C E$ ，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，连接 $A F$ ．若 $∠ A F C$ 恰好等于 $90 °$ ，请直接写出此时 $A F ， B F ， C F$ 之间的数量关系．

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