辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 利用配方法解方程x²+2x＝1时，方程可变形为（）

A、(x+1)²＝2 B、(x﹣1)²＝2 C、(x+1)²＝0 D、(x﹣1)²＝0

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2. 方程 $（ x - 1 ）^{2} = 9$ 的根是（）

A、 $x_{1} ＝ 2 ， x_{2} ＝ 4$ B、 $x ＝ 4$ C、 $x_{1} ＝ 4 ， x_{2} ＝ - 2$ D、 $x_{1} ＝ - 4 ， x_{2} ＝ 2$

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3. 如图，已知四边形 $A B C D$ 的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（）

A、 $A O = B O = C O = D O$ ， $A C ⊥ B D$ B、 $A C = B C = C D = D A$ C、 $A O = C O$ ， $B O = D O$ ， $A C ⊥ B D$ D、 $A B = B C$ ， $C D ⊥ D A$

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 没有实数根，则m的值可能是（）

A、－2 B、0 C、3 D、5

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5. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，已知 $A O = 2$ ， $O B = 4$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、4 B、8 C、16 D、20

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，则CD的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）

A、6 B、5 C、9 D、 $\frac{8}{3}$

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8. 九年级1907班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有 $x$ 名同学，依题意，可列出的方程是（）

A、 $x (x + 1) = 132$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 132$ C、 $2 x (x - 1) = 132$ D、 $x (x - 1) = 132$

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9. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）

A、1﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1﹣ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A、16 B、12 C、12或16 D、无法确定

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二、填空题

11. 把1m的线段进行黄金分割，则分成较短的线段长为．

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12. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为．

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13. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ， $a + b + c = 18$ ，则a的值为．

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14. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，若 $A D = 4 ， B D = 9$ ，则 $C D =$ .

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 30 c m$ ， $B C = 21 c m$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C A$ 方向运动，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $B C$ 方向运动，如果点 $P$ ， $Q$ 同时出发， $P$ ， $Q$ 的运动速度均为 $1 c m / s$ ．那么运动秒时，它们相距 $15 c m$ ．

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16. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $B A = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $D$ 是斜边 $B C$ 上的一个动点，过点 $D$ 分别作 $D M ⊥ A B$ 于点 $M$ ， $D N ⊥ A C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，则线段 $M N$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 用适当的方法解一元二次方程

(1)、 $2 (x - 3) = 3 x (x - 3)$ ；

(2)、 $(x - 1) (x - 2) = 5$ ．

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18. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若CD=3，BD=2 $\sqrt{5}$ ，求四边形ABCD的面积．

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19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.

(1)、如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm²？

(2)、如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

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20. 某地的2020年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2022年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．

(1)、求该地这两年教育经费平均增长率；

(2)、若该地这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2023年教育经费会达到8000万元吗？

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21. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．

(1)、用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为；

(2)、若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

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22. 在菱形ABCD中，过点B作 $B E ⊥ C D$ 于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．

(1)、求证：四边形BFDE是矩形；

(2)、若BD＝2 $\sqrt{5}$ ， BE＝4，求BC的长．

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23. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．

(1)、求证：AE•BC=BD•AC；

(2)、如果 $S_{△ ADE}$ =3， $S_{△ BDE}$ =2，DE=6，求BC的长．

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24. 如图①，P是菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上的一点，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $P E = P B$ ．

(1)、求证： $P D = P E$ ；

(2)、求证： $∠ D P E = ∠ A B C$ ；

(3)、如图②，当四边形 $A B C D$ 为正方形时，连接 $D E$ ，试探究线段 $D E$ 与线段 $B P$ 的数量关系，并说明理由．

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25. 在 $Δ A B C$ ， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ .点P是平面内不与点A，C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)、观察猜想
如图1，当 $α = 60^{°}$ 时， $\frac{B D}{C P}$ 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)、类比探究
如图2，当 $α = 90^{°}$ 时，请写出 $\frac{B D}{C P}$ 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)、解决问题
当 $α = 90^{°}$ 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 $\frac{A D}{C P}$ 的值.

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