北京市燕山地区2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 平面直角坐标系中，与点 $P (- 3 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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3. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（）

A、50° B、40° C、30° D、20°

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4. 方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等实数根 B、有两个不相等实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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5. 已知 $2 a^{2} - 7 a - 1 = 0$ ，则代数式 $a (2 a - 7) + 5$ 的值为（）

A、6 B、5 C、4 D、-4

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6. 如图，将 $R t △ A O B (∠ A O B = 90 °)$ 绕点O逆时针旋转30°得到 $R t △ C O D$ ，则 $∠ C O B$ ＝（）

A、30° B、60° C、70° D、90°

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7. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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8. 以下对二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 5$ 的图象和性质的描述中，错误的是（）

A、开口向上 B、当x＞－2时，y随x的增大而增大 C、对称轴是直线x＝2 D、与y轴的交点是(0，－5)

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9. 某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $48 (1 + x)^{2} = 36$ B、 $48 (1 - x)^{2} = 36$ C、 $36 (1 + x)^{2} = 48$ D、 $36 (1 - x)^{2} = 48$

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10. 小明用一根长40cm的铁丝围成一个矩形（如图），他发现矩形邻边的长度a，b及面积S是三个变量．有下面三个结论：① b是a的一次函数；② S是a的一次函数；③ S是a的二次函数．其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的两根为．

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12. 二次函数 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ 的图象的顶点坐标是．

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13. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 的一个根为1，那么a的值为．

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14. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，点C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B = 5 5^{°}$ ，则 $∠ A O B =$ °．

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15. 写出一个二次函数，其图像开口向上，且与y轴交于点（0，1），这个二次函数的解析式可以是．

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16. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为．

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17. 小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…
该二次函数的解析式是．

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18. 某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足 $y = - x^{2} + 6 x - 7$ ，不考虑其他因素，该商品的单价定为元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为元．

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三、解答题

19. 解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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20. 如图， $⊙ O$ 的半径为 $6 c m$ ，弦AB的长为 $6 c m$ ．

(1)、求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、求点O到 $A B$ 的距离．

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21. 阅读材料，并回答问题：
下面是小明解方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的过程：
解：移项，得
$x^{2} + 4 x = 2$ ．     ①
配方，得
$x^{2} + 4 x + 4 = 2$ ， ②
$(x + 2)^{2} = 2$ ．     ③
由此可得
$x + 2 = \pm \sqrt{2}$ ，     ④
$x_{1} = \sqrt{2} - 2$ ， $x_{2} = - \sqrt{2} - 2$ ． ⑤

(1)、小明解方程的方法是____；

A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法

(2)、上述解答过程中，从第步（填序号）开始出现了错误，原因是；

(3)、请你写出正确的解答过程．

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22. 某二次函数的图象的顶点坐标是 $(1 ， - 4)$ ，且经过点 $(0 ， - 3)$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，画出该二次函数的图象．

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 m = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、当m取正整数时，求此时方程的根．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，连接 $D O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点F，连接 $A F$ ， $∠ A F D = ∠ C D F$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C F}$ ；

(2)、连接 $A C$ ，若 $A B = 12$ ，求 $A C$ 的长．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + (m + 2) x + 2 m$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求抛物线的对称轴；

(2)、若点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(m ， y_{2})$ ， $(1 ， y_{3})$ 在抛物线上，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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26. 如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．

(1)、依题意补全图形；

(2)、用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．

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27. 在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．

(1)、若点A的坐标为（0，2），点 $P_{1}$ （2，2）， $P_{2}$ （1， $- 4$ ）， $P_{3}$ （ $- \sqrt{3}$ ， 1）中，点A的“等距点”是；

(2)、若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；

(3)、记函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ （ $x > 0$ ）的图象为 $L$ ， $⊙ T$ 的半径为2，圆心坐标为 $T (0 ， t)$ .若在 $L$ 上存在点M， $⊙ T$ 上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．

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x	…	0	1	2	3	4	5	…
y	…	5	0	-3	-4	-3	0	…