贵州省遵义市2023届高三上学期理数第一次统一考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、5 C、1 D、13

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3. 若 $t$ 是方程 $x + l n x - 2 = 0$ 的根，则下列选项正确的是（）

A、 $1 < t < 2$ B、 $2 < t < 3$ C、 $3 < t < 4$ D、 $0 < t < 1$

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4. 为了得到函数 $y = s i n x$ 的图象，只要把函数 $y = s i n (x + \frac{π}{3})$ 图象上所有的点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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5. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $x < 1$ ，则 $x - 2 ≤ 0$ ”的否命题是：“若 $x < 1$ ，则 $x - 2 > 0$ ” B、“ $x = 2$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x^{2} + x - 1 < 0$ ”的否定是：“ $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + x - 1 > 0$ ” D、命题“若 $c o s x \neq c o s y$ ，则 $x \neq y$ ”为真命题

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6. 函数 $f (x) = e^{| x |} (3 - x^{2})$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图1，规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定继续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中前5行正方形个数的总和为（）

A、8 B、19 C、32 D、59

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8. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3} ， a = \sqrt{3}$ ，则 $b c$ 的取值范围为（）

A、 $(2 ， 3]$ B、 $(1 ， 4]$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $(2 ， 4]$

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9. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1 ， 0 \leq x < 1 \\ l o g_{2} (x + 3) ， 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则 $f (- 2023) =$ （）

A、 $l o g_{2} 6$ B、1 C、2 D、3

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10. 若函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， θ)$ 内不存在最小值，则 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{4} ， π)$ C、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(\frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3}]$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且仅有3个不同的零点；
② $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{π}{2}$ ；
③ $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{4} ， \frac{17}{4})$ ；
④ $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{15})$ 上单调递增．
其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知 $a = π^{\sqrt{2}} ， b = (\sqrt{2})^{π} ， c = 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 3^{n} + 1$ $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} =$ ．

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14. 若直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则切点的坐标为．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 s i n x + 3$ ，则不等式 $f (l o g_{2} x) < 3$ 的解集为．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1 ， x \geq a \\ | x - a - 1 | + a ， x < a \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ ， $s i n x + c o s x = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $s i n x c o s x$ 的值：

(2)、求 $s i n (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3} c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + 3 x + b$ $(a ， b \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值2．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = - x^{2} + 6 x + k$ 有三个相异实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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19. 在① $S_{2}$ 是 $S_{1}$ 与 $S_{4}$ 的等比中项，② $a_{3} = 10$ ， ③ $S_{3} - a_{4} = 4$ 这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足____．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = b_{n - 1} + 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $b_{1} = a_{1} + 1$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{s i n A - s i n B}{s i n C} = \frac{a - c}{a + b}$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点， $B D = 2$ ，且 $B D$ 为 $∠ B$ 的平分线，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$ ．（参考数据： $l n 2 \approx 0.693 ， e \approx 2.718$ ）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\frac{f (x)}{x} \geq a (x l n x + 1 - x)$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{2 \sqrt{5}}{5} t ， \\ y = \frac{\sqrt{5}}{5} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ^{2} = 4 ρ c o s θ + 5$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (- 2 ， 0)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = 5 - | x + a | - | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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