浙江省湖州、丽水、衢州三地市2022-2023学年高三上学期数学11月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x - 1} \leq 0}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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2. 设复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、-1 B、1 C、 $i$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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3. 已知点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面上的一点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + t \vec{A C}$ ，其中 $t$ 为实数，若点 $P$ 落在 $△ A B C$ 的内部（不含边界），则 $t$ 的取值范围是(　　)

A、 $0 < t < \frac{1}{4}$ B、 $0 < t < \frac{1}{3}$ C、 $0 < t < \frac{1}{2}$ D、 $0 < t < \frac{2}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π$ ）的部分图像如图，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，满足 $f (x) = 1$ 的 $x$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $P C$ ， $B C$ 的中点，且 $A M ⊥ M N$ ，设三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积和表面积分别是 $V$ 和 $S$ ．若 $A B = 2$ ，则（）

A、 $V = 6 \sqrt{6} π$ B、 $V = 12 \sqrt{6} π$ C、 $S = 6 π$ D、 $S = 24 π$

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6. 若函数 $f (x) = a x + s i n x$ 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

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7. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 和 $Q (3 ， 0)$ 分别作斜率大于 $0$ 的两平行直线，交抛物线于 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，连接 $A D$ 交 $x$ 轴于点 $M (\frac{3}{2} ， 0)$ ，则直线 $A B$ 的斜率是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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8. 设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = e^{s i n \frac{1}{8}} - 1$ ， $c = l n \frac{9}{7}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：

	性别		合计
	男性	女性	合计
喜欢	280	p	280+p
不喜欢	q	120	120+q
合计	280+q	120+p	400+p+q

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.00l
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的 $\frac{7}{10}$ ，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、列联表中

q

的值为120，

p

的值为180 B、随机对一名学生进行调查，此学生有

90 %

的可能喜欢该项运动 C、有

99 %

的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系 D、没有

99.9 %

的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} - 1 ， x \geq 1 \\ l n x ， 0 < x < 1 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a x - b$ ，则（）

A、对于任意 $a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 有零点 B、对于任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，函数 $g (x)$ 恰有一个零点 C、对于任意 $a > 0$ ，存在 $b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有二个零点 D、存在 $a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有三个零点

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11. 已知点 $A$ ， $B$ 分别为圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 16 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 上的两个动点，点 $P$ 为直线 $l$ ： $x - y + 2 = 0$ 上一点，则（）

A、 $| P A | - | P B |$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + 3$ B、 $| P A | - | P B |$ 的最小值为 $- 2 \sqrt{5} - 3$ C、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $3 \sqrt{10} - 3$ D、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\sqrt{13} + \sqrt{37} - 3$

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12. 定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + (x^{2} + x) f^{'} (x) < 0$ 恒成立，则（）

A、 $4 f (2) < 3 f (1)$ B、 $8 f (2) < 9 f (3)$ C、 $3 f (3) > 2 f (1)$ D、 $15 f (3) > 16 f (4)$

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三、填空题

13. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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14. 从数字 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中任意取出两个数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是．

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15. 已知函数 $f (x)$ （ $x ∈ R$ ）满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ，若函数 $y = \frac{x}{x - 1}$ 与 $y = f (x)$ 的图象的交点为 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2022$ ），则 $\sum_{i = 1}^{2022} (x_{i} + y_{i}) =$ ．

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16. 设 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F$ 作斜率为 $\sqrt{15}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 点在 $x$ 轴上方），过 $O$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，且 $| H B | = | H F |$ ，则该椭圆的离心率是．

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = 2 a_{n + 1} a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求满足不等式 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{k} a_{k + 1} < \frac{1}{7}$ （ $k \in N^{*}$ ）成立的 $k$ 的最大值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n (A + C) = 2 - 2 c o s B$ ．

(1)、求 $t a n B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，求 $△ A B C$ 周长 $L$ 的最小值．

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，三棱锥 $C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $△ A B_{1} C$ 的面积为 $4$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，且 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离；

(2)、若 $B B_{1} = B A$ ，且平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A - B_{1} C - A_{1}$ 的余弦值．

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20. 自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：
年份
数学
物理
化学
总计
2018
4
7
6
17
2019
5
8
5
18
2020
6
9
5
20
2021
8
7
6
21
2022
9
8
6
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附： $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 为回归方程， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
请根据表格回答下列问题：

(1)、统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记 $x$ 为年份与 $2017$ 的差， $y$ 为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并以此预测 $2023$ 年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；

(2)、在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对 $2020$ 年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这 $20$ 名学生中随机选取 $3$ 位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占 $76 \frac{0}{0}$ ，五年毕业的占 $16 \frac{0}{0}$ ，六年毕业的占 $8 \frac{0}{0}$ .现从 $2018$ 到 $2022$ 年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在 $2025$ 年毕业的概率.

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21. 已知点 $A (3 ， \sqrt{2})$ 在离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的双曲线 $C$ 上，过点 $M (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $D$ ， $E$ 两点（ $D$ ， $E$ 均在第四象限），直线 $A D$ ， $A E$ 分别交直线 $x = 1$ 于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $△ A P Q$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{a x}} + l n x - a x - 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 e l n \frac{1}{a}$ ．
（其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

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年份	数学	物理	化学	总计
2018	4	7	6	17
2019	5	8	5	18
2020	6	9	5	20
2021	8	7	6	21
2022	9	8	6	23