天津市河西区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $S = {x | x > - 2}$ ， $T = {x | x^{2} + 3 x - 4 \leq 0}$ ，则 $(C_{R} S) ∩ T =$ （）

A、 $[- 4 ， - 2]$ B、 $[- 4 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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2. 设a，b∈R，则“ $a + b > 4$ ”是“ $a > 2$ 且 $b > 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = l n (x^{2} + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (- 2 ， - 1)$ ， $D (3 ， 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影向量的长度为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{2}$

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5. 设 $a = l o g_{3} 7$ ， $b = 2^{1.1}$ ， $c = 0 . 8^{3.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. 将函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上单调递减 B、在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上单调递增 C、在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0, n = 1, 2, \dots$ ，且 $a_{5} \cdot a_{2 n - 5} = 2^{2 n} (n \geq 3)$ ，则当 $n \geq 1$ 时， $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{3} + \dots + \log_{2} a_{2 n - 1} =$ （）

A、 $n (2 n - 1)$ B、 ${(n + 1)}^{2}$ C、 $n^{2}$ D、 ${(n - 1)}^{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n 2 π x ， x < 0 \\ x^{2} - 4 x + 7 - 4 a ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(- a ， + ∞)$ 内恰有 $5$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{4} ， 2) \cup [\frac{5}{2} ， \frac{11}{4})$ B、 $[\frac{7}{4} ， 2) \cup (2 ， \frac{5}{2}]$ C、 $(\frac{3}{2} ， \frac{7}{4}] \cup [\frac{5}{2} ， \frac{11}{4})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \frac{7}{4}] \cup (2 ， \frac{5}{2}]$

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二、填空题

10. 设a，b∈R，a+bi= $\frac{11 - 7 i}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位），则a+b的值为．

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11. 含有3个实数的集合既可表示成 ${a ， \frac{b}{a} ， 1}$ ，又可表示成 ${a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2022} + b^{2022} =$ ．

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + 1$ ，则此数列的通项公式为 $a_{n} =$ ．

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13. 函数 $y = x + 2 c o s x$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值是．

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 8 y - x y = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值为．

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是．

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三、解答题

16. 计算下列各式

(1)、 $\frac{\sqrt{m} \sqrt[3]{m} \sqrt[4]{m}}{(\sqrt[6]{m})^{5} m^{\frac{1}{4}}}$ （式中字母均为正数）；

(2)、 $l o g_{5} 35 + 2 l o g_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} - l o g_{5} \frac{1}{50} - l o g_{5} 14$

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c .$ 已知 $a = 4 ， b = 5 ， c = \sqrt{21}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $s i n A$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

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18. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a \neq 0 ， b < 1)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有最大值 $4$ ，最小值 $1$ ，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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19. 设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝ $\frac{n a_{n}}{3}$ ，已知a₁ ， 3a₂ ， 9a₃成等差数列．

(1)、求{an}和{bn}的通项公式；

(2)、记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜ $\frac{S_{n}}{2}$ ．

(3)、求证： $\sum_{i = 1}^{n} (\frac{a_{i}}{3 b_{i}})^{2} < \frac{7}{4}$

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20. 已知函数 $f (x) = x (1 - l n x)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b l n a - a l n b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .

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