天津市北辰区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = 2^{x}, x \in R}, B = {x | x^{2} - 1 < 0},$ 则 $A \cup B$ =（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$

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3. 为了检查“双减”政策落实效果，某校邀请学生家长对该校落实效果进行评分．现随机抽取100名家长进行评分调查，发现他们的评分都在40~100分之间，将数据按 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则在抽取的家长中，评分落在区间 $[60 ， 90)$ 内的人数是（）

A、55 B、60 C、70 D、75

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4. 已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = l o g_{0.3} 0.5$ ， $c = l o g_{0.5} 0.2$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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5. 在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）

A、 $\frac{1}{21}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{1}{42}$ D、 $\frac{1}{7}$

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6. 函数 $f (x) = e^{| x |} (2 - x^{2})$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = C D = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = A D = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{52 π}{3}$ B、 $7 π$ C、 $\frac{28 \sqrt{7} π}{3}$ D、 $28 π$

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8. 将函数 $f (x) = 2 c o s^{2} \frac{x}{2} - c o s (x + \frac{π}{3})$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若对任意的 $x ∈ R$ ，均有 $g (x) \leq g (\frac{π}{12})$ 成立，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{24}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + \ln x - x$ 有唯一的极值点 $t$ ，则 $f (t)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、填空题

10. 若复数z满足 $(1 + i) z = | 1 + i |$ ，则z的虚部为

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11. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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12. 已知直线：12x－5y＝3与圆x²＋y²－6x－8y＋16＝0相交于A ， B两点，则|AB|＝.

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13. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是.

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14. 在 $△ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，点E在线段AD上，且 $A E = \frac{1}{2} D E$ ，若 $\vec{E B} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x - y =$ ．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，且不等式 $3 x + y + t > 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 已知 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s B + \sqrt{3} a s i n B = b + c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D ， E ， N$ 分别为棱 $P A ， P C ， B C$ 的中点， $M$ 是线段 $A D$ 的中点， $P A = A C = 4 ， A B = 2$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $C E M$ 与平面 $M N E$ 夹角的余弦值；

(3)、已知点 $H$ 在棱 $P A$ 上，且直线 $H N$ 与直线 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求线段AH的长．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{4} - a_{2} = 12$ ， $S_{4} + 2 S_{2} = 3 S_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{l o g_{2} a_{n}}{n^{2} (n + 2)} ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{*} \\ \frac{2 \sqrt{b_{n}}}{a_{n}} ， n = 2 k ， k \in N^{*} \end{array}$ ， $T_{n}$ 为 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{2 n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + \frac{1}{a}) x + l n x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处切线的方程；

(2)、当 $a \neq 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $a \in (0 ， \frac{1}{2})$ ，证明对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 1] (x_{1} \neq x_{2})$ ， $\frac{| f (x_{1}) - f (x_{2}) |}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} < \frac{1}{2}$ 恒成立．

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