山西省临汾市等联考2023届高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i^{3}}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 设集合 $A = {4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {4 ， 7}$ ，则满足 $S \subseteq A$ 且 $S \cap B \neq \emptyset$ 的集合 $S$ 的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{b} = (1 ， λ)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) ∪ (- \frac{1}{2} ， 2)$

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4. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（guǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸，意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差相等；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立秋”时日影长度是（）

A、450分 B、 $457 \frac{1}{2}$ 分 C、 $358 \frac{1}{3}$ 分 D、 $350 \frac{1}{6}$ 分

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5. 为了得到 $y = s i n 3 x$ 的图象，只需将 $y = c o s (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{5 π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + b$ 的最小值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $4$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $5$

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，设 $D$ ， $E$ 分别是棱 $C C_{1}$ 上的两个动点，且满足 $D E = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} D E$ B、 $A_{1} A / /$ 平面 $B_{1} D E$ C、 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A D E$ D、三棱锥 $A - B_{1} D E$ 体积为定值

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8. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{m}{x}$ ，若对任意 $b > a > 1$ ， $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 1$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 中，“ $c o s A > c o s B$ ”是“ $s i n A < s i n B$ ”的既不充分也不必要条件 B、已知全集 $U = R$ ，则“ $A ∩ B = A$ ”是“ $∁_{U} B \subseteq ∁_{U} A$ ”的充要条件 C、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ”是“存在 $λ \in R$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ”的必要不充分条件 D、对于函数 $y = f (x)$ ， $x ∈ R$ ， “ $f (x)$ 是奇函数或偶函数”是“ $| f (x) |$ 的图象关于 $y$ 轴对称”的充分不必要条件

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10. 已知斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $S_{10} = 143$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2021} = a_{2022}$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2020} > a_{2021}$ D、 $S_{2020} = a_{2020} + a_{2021}$

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{| l n x |}{e^{x}} = a$ 有且仅有两解 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、函数 $y = a e^{x}$ 与 $y = l n x$ 的图象有唯一公共点 B、 $x_{1} x_{2} < 1$ C、 $\frac{1}{2} < x_{1} < 1$ ， $1 < x_{2} < 2$ D、存在唯一 $a = a_{0}$ 满足题意，且 $a_{0} \in (\frac{1}{2 e^{2}} ， \frac{1}{e})$

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12. 一般地，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = - λ \vec{Q B}$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），则称 $A$ ， $B$ ， $P$ ， $Q$ 四点构成调和点列.已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $D (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.动点 $E$ 满足 $M$ ， $N$ ， $D$ ， $E$ 四点构成调和点列，则下列结论正确的是（）

A、 $M$ ， $N$ ， $D$ ， $E$ 四点共线 B、 $\frac{1}{| M E |} + \frac{1}{| N E |} = \frac{2}{| D E |}$ C、动点 $E$ 的轨迹方程为 $2 x + 3 y - 6 = 0$ D、 $| D E |$ 既有最小值又有最大值

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三、填空题

13. 已知 $s i n θ c o s θ = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n^{4} θ + c o s^{4} θ =$ .

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14. 函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x + 2) = f (2 - x)$ ， $f (- x^{2}) = - f (x^{2} + 2)$ ，当 $x \in [0 ， 4)$ 时， $f (x) = | s i n (\frac{π}{2} x) |$ ，则 $f (\frac{685}{3}) =$ .

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C = B C = C D = A D = 2$ ，且 $A C ⊥ B C$ ，将其沿 $A C$ 折叠成四面体 $A B C D$ ，使得二面角 $D - A C - B$ 的大小为 $30 °$ ，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积是.

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16. 瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心三点共线.后人把这条直线称为三角形的“欧拉线”.已知等腰 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (5 ， 2)$ ， $B (6 ， 7)$ ， $C (0 ， 3)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M$ ： $(x - 1)^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 15$ 相交于点 $E$ ， $F$ 两点，则 $△ A B C$ 的“欧拉线”方程为，弦长 $| E F | =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + f^{'} (1) x^{2} - 2 x$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f^{'} (1)$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线方程.

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $M$ 是边 $B C$ 的中点， $a = \sqrt{19}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $A M = \frac{\sqrt{39}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 山西省高考综合改革从2022年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3＋1＋2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物学、思想政治、地理四科中选择两科.相应的，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.现从某中学2022年高一年级所有学生中随机抽取20人进行选科情况调查，得到如下统计表：

序号	选科情况	序号	选科情况	序号	选科情况	序号	选科情况
1	史化生	6	物化政	11	史地政	16	物化地
2	物化地	7	物化生	12	物化地	17	物化政
3	物化地	8	史生地	13	物生地	18	物化地
4	史生地	9	史化地	14	物化地	19	史化地
5	史地政	10	史化政	15	物地政	20	史地政

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、请创建列联表，依据小概率值

α = 0.1

的独立性检验，能否认为学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关联.

(2)、某高校在其人工智能方向专业甲的招生简章中明确要求，考生必须选择物理，且在化学和生物学2门中至少选修1门，方可报名.现从该中学高一新生中随机抽取4人，设具备这所高校专业甲报名资格的人数为

X

，用样本的频率估计概率，求

X

的分布列与期望.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - a_{n}^{2} = 2 a_{n}$ .

(1)、若 $2^{b_{n}} = a_{n} + 1$ ，求证： ${b_{n}}$ 是等比数列.

(2)、若 $c_{n} = \frac{n}{b_{n}} + 1$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} < 100$ 的最大整数 $n$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $C$ 的左、右焦点，点 $P (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在 $C$ 上运动，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ .连接 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 并延长分别交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明： $\frac{S_{△ O P F_{1}}}{S_{△ O M F_{1}}} + \frac{S_{△ O P N}}{S_{△ O F_{2} N}}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x - 1$ ， $g (x) = - \frac{2 x + a + 2}{e^{x}} + a (c o s x - s i n x) + 2$ ， $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且仅有一个零点 $x_{0}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：若 $1 < a < 2$ ，则 $g (x)$ 在 $(- π ， 0)$ 上有且仅有一个零点 $x_{1}$ ，且 $x_{0} + x_{1} < 0$ .

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