江苏省常州市教育学会2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \sqrt{2 - x} \leq 1}$ ， $B = {x | | x - 2 | \leq 1}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

查看试题解析
2. 在 $△ A B C$ 中，“ $A = B$ ”是“ $s i n A = s i n B$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 0$ ，且 $a_{2} + a_{3} = 6$ ， $a_{3} a_{4} = a_{6}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

查看试题解析
4. 如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（）

A、 $y = \frac{- x^{3} + 3 x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 x c o s x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{2 s i n x}{x^{2} + 1}$

查看试题解析
5. 若 $(1 - a x + x^{2}) (1 - x)^{8}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为21，则a＝（）

A、－3 B、－2 C、－1 D、1

查看试题解析
6. 设随机变量 $ξ ~ N (μ ， 4)$ ，函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - ξ$ 没有零点的概率是0.5，则 $P (1 < ξ \leq 3) =$ （）
附：若 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ．

A、0.1587 B、0.1359 C、0.2718 D、0.3413

查看试题解析
7. 如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时， $s i n x \approx x - \frac{x^{3}}{6}$ ，则 $\frac{A B}{l}$ 的值约为（）

A、 $2 - \frac{r^{2}}{12 l^{2}}$ B、 $2 - \frac{l^{2}}{12 r^{2}}$ C、 $1 - \frac{r^{2}}{24 l^{2}}$ D、 $1 - \frac{l^{2}}{24 r^{2}}$

查看试题解析
8. 设 $a = e^{0.2}$ ， $b = \frac{5}{4}$ ， $c = l n \frac{6 e}{5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d < 0$ ，且 ${a_{1}}^{2} = {a_{11}}^{2}$ ． ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $S_{k}$ 是 $S_{n}$ 的最大值，则k的可能值为（）

A、5 B、6 C、10 D、11

查看试题解析
10. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）

A、B的最小值为 $\frac{π}{3}$ B、 $c o s (A - C) + c o s B = 1 - c o s 2 B$ C、 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} = \frac{1}{s i n B}$ D、 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2})$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 定义域均为 $R$ ，若 $f (- x) = - f (x)$ ， $f (x + 2) = f (2 - x)$ 对任意实数x都成立，则（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数 B、函数 $f^{'} (x)$ 是偶函数 C、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于 $(2 ， 0)$ 中心对称 D、函数 $f (2 - x)$ 与 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

查看试题解析
12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（）

A、一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为 $\frac{1}{3}$ B、一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为 $\frac{1}{4}$ C、一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为 $\sqrt{2}$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ D、一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为 $\frac{1}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 函数 $f (x) = t a n (s i n x)$ 的最小正周期为．

查看试题解析
14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过点A作平面 $A_{1} B D$ 的垂线，垂足为H，则直线AH与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为．

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中， $2 s i n ∠ A C B = \sqrt{3} s i n ∠ A B C$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C$ 边上的中线长为 $\sqrt{13}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

查看试题解析
16. 将数列 ${3 n}$ 与 ${2^{n}}$ 的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{684} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{4}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 满足 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 32$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 132$ ，根据这8个样本点求得的线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ （其中 $\hat{a} \in R$ ）．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点 $(2 ， 11)$ ， $(6 ， 22)$ ，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{n} x + \hat{m}$ （其中 $\hat{n}$ ， $\hat{m} \in R$ ）．（参考公式：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(1)、求 $\hat{a}$ 的值；

(2)、证明回归直线 $\hat{y} = \hat{n} x + \hat{m}$ 经过点 $(4 ， 16.5)$ ，并指出 $\hat{n}$ 与3的大小关系．

查看试题解析
19. 记函数 $f (x) = s i n^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为T．若 $\frac{π}{3} < T < \frac{2 π}{3}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0)$ 上的值域．

查看试题解析
20. 甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．
性别人数
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
男生
45
15
女生
60
10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，通过乙地的各项程序的概率依次为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{3}{5}$ ， m，其中0＜m＜1．
参考公式与临界值表： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a＋b＋c＋d．
$P (χ^{2} ≥ k)$
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；

(2)、若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．

查看试题解析
21. 如图，在三棱锥 $A － B C D$ 中，已知平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C ⊥ B D$ ， $C B = C D = \sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、若 $A D = \sqrt{2}$ ，求直线 $B D$ 与 $A E$ 所成角的余弦值；

(2)、已知点 $F$ 在线段 $A C$ 上，且 $A F = \frac{1}{3} A C$ ，求二面角 $F - D E - C$ 的大小．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = a x - l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在x＝0处的切线与 $g (x)$ 在x＝1处的切线相同，求实数a的值；

(2)、令 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，直线y＝m与函数 $F (x)$ 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ ．

查看试题解析

性别人数	参加考核但未能签约的人数	参加考核并能签约的人数
男生	45	15
女生	60	10

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635