河南省南阳市2022-2023学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {x | - 5 < x < 4}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- 5 ， - 1)$ D、 $(- 5 ， - 1]$

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2. 若 $| z + i | = | z - i | = 2$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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3. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq 3 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $x - 2 y$ 的最小值是（）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、 $- 5$ D、 $- 7$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 11 n$ . 若 $7 < a_{k} < 10$ ，则 $k =$ （）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{12} - x) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $c o s (2 x - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $- \frac{\sqrt{13}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $C = 30 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = x$ . 若满足条件的 $△ A B C$ 有且只有一个，则 $x$ 的可能取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 若函数 $f (x) = e^{x} (s i n x + a)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = 3 x + a$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{2} (c - b c o s A) = a$ ， $b = 3 \sqrt{2}$ 则 $△ A B C$ 的外接圆面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $9 π$

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9. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的图像如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度后，所得到的图像关于点 $(\frac{7 π}{24} ， 0)$ 对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{7 π}{24}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 3) = f (3 - x)$ ， $f (x + 6) = - f (6 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 3]$ 时， $f (x) = a \cdot 2^{x} - 1 (a \in R)$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) =$ （）

A、14 B、16 C、18 D、20

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11. 已知： $a = \frac{1 - t a n^{2} \frac{π}{8}}{1 + t a n^{2} \frac{π}{8}}$ ， $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $c = \frac{l o g_{2} 3}{2}$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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12. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + \frac{1}{b^{2}} \leq l n (2 a) - l n b + 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $f (x) = l g 5 \cdot l g (10 x) + {(l g x)}^{2}$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 8$ ，则 $A B$ 边上中线 $C D$ 的长为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， s i n x \leq c o s x \\ c o s x ， s i n x > c o s x \end{array}$ ，则 $f (x) < \frac{1}{2}$ 的解集是.

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16. 若方程 $x^{2} e^{- x} = a x - l n x - 1$ 存在唯一实根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 - c o s^{2} (x + \frac{π}{3}) - s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 中心对称，求 $y = g (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = \sqrt{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，且 ${b_{n}}$ 是以 $2$ 为公比的等比数列.

(1)、证明： $a_{n + 2} = 4 a_{n}$ ；

(2)、若 $c_{n} = a_{2 n - 1} + 2 a_{2 n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = k (x - 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) ≥ g (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 4$ ， $2 S_{n} = n (a_{n} + 1) (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，并求出其通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n} + 2 n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，向量 $\vec{m} = (s i n A ， s i n B)$ ， $\vec{n} = (c o s B ， c o s A)$

(1)、若 $3 a = 4 b$ ， $c o s C = \frac{2}{3}$ ，证明： $△ A B C$ 为锐角三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = s i n 2 C$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x - 1$ ，若 $f (x) = \frac{g (x) + h (x)}{2}$ ，其中 $g (x)$ 为偶函数， $h (x)$ 为奇函数.

(1)、当 $a = 1$ 时，求出函数 $g (x)$ 的表达式并讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数. 当 $a \in [- 1 ， 1]$ ， $x \in [- 1 ， 1]$ 时，记函数 $| f (x) |$ 的最大值为 $M$ ，函数 $| f^{^{'}} (x) |$ 的最大值为 $N$ .求证： $M < N$ .

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