河南省焦作市2022-2023学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{3} (x + 2) < 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = 1 - 2 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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3. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形 $O C D$ 为一把折扇展开后的平面图，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = O D = 1$ ，设向量 $\vec{m} = 3 \vec{O C} + 2 \vec{O D}$ ， $\vec{n} = 2 \vec{O C} + k \vec{O D}$ ，若 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 11$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、1 B、3 C、7 D、14

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4. 如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（）

A、256 B、255 C、127 D、126

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{1 + m} - \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，则甲恰好连胜两局的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{7}{36}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x (4 - x) \\ x - y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值是（）

A、0 B、4 C、6 D、 $\frac{25}{4}$

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点，则 $A P + P C_{1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，其准线与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上，且 $P A ⊥ P F$ ，则 $| P F | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{5} - 2$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中，一个长方形的四个顶点都在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，将该长方形绕 $x$ 轴旋转 $180 °$ ，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（）

A、 $\frac{10 π}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{40 π}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，将数列 ${a_{n}}$ 与数列 ${2^{n - 1}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${b_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则满足 $T_{n} < 2022$ 的正整数 $n$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} - 2 ， 0 < x \leq 2 \\ f (4 - x) ， 2 < x < 4 \\ 10 - 2 x ， x \geq 4 \end{array}$ ，当方程 $f (x) = m$ 有5个不等实根 $x_{1} ， x_{2} ，$ $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5})$ 时， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} f (x_{i})$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(0 ， \frac{49}{8})$ C、 $(0 ， \frac{51}{8})$ D、 $(0 ， \frac{169}{4})$

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二、填空题

13. $(x + y) {(x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（用数字作答）．

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14. 已知直线 $l_{1} ： y = x + 1$ 与 $l_{2} ： y = 2 x$ 的交点在圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 5$ 上，且 $l_{2}$ 经过圆心 $C$ ，则圆心 $C$ 到 $l_{1}$ 的距离为．

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15. 已知函数 $f (x) = 3 s i n x + 4 c o s x$ ，若 $f (x) \leq f (θ)$ 对任意实数 $x$ 都成立，则 $\frac{2 s i n \frac{θ}{2} c o s \frac{θ}{2}}{\sqrt{2 + 2 c o s 2 θ}} =$ ．

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16. 已知不等式 $e^{x} - 2 l n x > a x^{2} - x + l n a$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的 $A$ ， $B$ 两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗）

普通果
优质果
$A$ 地区
40
60
$B$ 地区
20
80
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？

(2)、用样本中各地区优质果的频率代替相应地区每一颗小西红柿为优质果的概率，从 $B$ 地区收获的小西红柿中随机抽取2000颗，记其中优质果的颗数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望和方差．

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $C D / / A B$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P B = \sqrt{3}$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 所对的边， $b = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 2$ ．

(1)、若 $s i n A = \frac{4}{5}$ ，求 $a$ ；

(2)、求 $t a n B$ 的最大值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆 $C$ 仅有 $2$ 个不同的公共点，且椭圆 $C$ 上一点 $P$ 到 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和为 $4$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、经过定点 $M (t ， 0)$ 的动直线 $l$ 交 $C$ 于 $E$ ， $F$ 两点， $G (4 ， 0)$ ，若 $∠ E G M = ∠ F G M$ 恒成立，求点 $P$ 到点 $M$ 的最小距离．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - a (a \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{1}{e - 1}$ ．（参考数据： $e^{1.5} \approx 4.48$ ， $l n 1.5 \approx 0.41$ ）

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x l n x$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 + t}{6} \\ y = \sqrt{t} \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ - \frac{π}{3}) - m = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 有两个不同的交点，求实数 $m$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x | + | 2 x - m | (m > 0)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $a$ ， $b$ 均为正数，且 $a + b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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	普通果	优质果
$A$ 地区	40	60
$B$ 地区	20	80

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828