北京市海淀区2023届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | x > 0}$ ，集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(0 ， 2] ∪ [3 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2) \cup (3 ， + \infty)$

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2. 在同一个坐标系中，函数 $y = l o g_{a} x$ 与 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、-4 D、 $- 4 \sqrt{2}$

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4. 若等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2} = 2$ ， $a_{4} = 8$ ，则 ${b_{n}}$ 的公比为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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5. 已知实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $| a | > b$ B、 $a > | b |$ C、 $a^{2} > a b$ D、 $a b > b^{2}$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于直线 $y = x$ 对称．若 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s β =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知函数 $f (x)$ ．甲同学将 $f (x)$ 的图象向上平移 $1$ 个单位长度，得到图象 $C_{1}$ ；乙同学将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到图象 $C_{2}$ ．若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 恰好重合，则下列给出的 $f (x)$ 中符合题意的是（）

A、 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x$ B、 $f (x) = l o g_{2} x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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8. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x} (a b \neq 0)$ ，则“ $a + b = 0$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若P是 $△ A B C$ 内部或边上的一个动点，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为 $1$ 的线段，第 $1$ 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第 $2$ 次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过 $n$ 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 $\frac{99}{100}$ ，则 $n$ 的最小值为（）
（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

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二、填空题

11. 若复数 $z = 1 - 2 i$ ，则 $| \bar{z} | =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + l n x$ 的定义域是.

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13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， t x + 2)$ ．若存在实数 $x$ ，使得 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同，则 $t$ 的一个取值为．

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14. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 和 $g (x) = c o s^{2} (x + φ) - s i n^{2} (x + φ)$ 的图象的对称中心完全重合，则 $ω =$ ； $g (\frac{π}{6}) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + a x + 1 ， x \leq 1 \\ a x ， x > 1 \end{array}$ ．
①当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的极值点个数为；
②若 $f (x)$ 恰有两个极值点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot)$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、等比数列 ${b_{n}}$ 的首项为 $1$ ，公比为 $q$ ，在下列三个条件中选择一个，使得 ${b_{n}}$ 的每一项都是 ${a_{n}}$ 中的项．若 $b_{k} = a_{m} (k ， m \in N^{*})$ ，求 $m$ ．（用含 $k$ 的式子表示）
条件①： $q = - 1$ ；条件②： $q = 2$ ；条件③： $q = 3$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $0$ 分．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (- \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， m]$ 上的取值范围是 $[- \frac{4}{3} ， 0]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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19. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 $12 k m$ 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得 $∠ B A D = 75 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ．（注：点A，B，C，D在同一平面内）

(1)、求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、求点 $C ， D$ 之间的距离．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：函数 $y = f (x) - 2$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且仅有一个零点；

(3)、若对任意 $x \in [0 ， π]$ ，不等式 $f (x) \geq 2 - c o s x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 对于一个m行n列的数表 $A_{m \times n} (m ≥ 2 ， n ≥ 3)$ ，用 $a_{i ， j}$ 表示数表中第i行第j列的数， $a_{i ， j} \in {0 ， 1}$ （ $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m$ ； $j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ）．对于给定的正整数t，若数表 $A_{m \times n}$ 满足以下两个条件，则称数表 $A_{m \times n}$ 具有性质 $p (t)$ ：
① $a_{1 ， j} = 1$ ， $a_{m ， j} = 0 (j = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ；
② $| a_{i ， 1} - a_{i + 1 ， 1} | + | a_{i ， 2} - a_{i + 1 ， 2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{i ， n} - a_{i + 1 ， n} | = t (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m - 1)$ ．

(1)、以下给出数表1和数表2．
数表1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
数表2
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
（i）数表1是否具有性质 $p (2)$ ？说明理由；
（ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质 $p (t)$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；

(2)、是否存在数表 $A_{m \times 2023}$ 具有性质 $p (6)$ ？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；

(3)、给定偶数 $n (n > 3)$ ，对每一个 $t \in {2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n - 1}$ ，将集合 ${m | A_{m \times n} 具有性质 p (t)}$ 中的最小元素记为 $f (t)$ ．求 $f (t)$ 的最大值．

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