北京市大兴区2023届高三上学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2022-11-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z = i (1 - i)$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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3. 下列函数中，在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且值域为 $(0 ， + ∞)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = l o g_{2} x$

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4. 若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + m \leq 0$ ”是真命题，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m > 1$ D、 $m \geq 1$

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5. “ $a = 1$ ”是“函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ 具有奇偶性”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， C A = 3 ， C B = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、3 B、5 C、6 D、10

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ ，则结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{3} ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(- π ， π)$ 内有2个零点 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上单调递增

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8. 若 $a > b > 0$ ，则① $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ ；② $\frac{a}{b} > \frac{a + 1}{b + 1}$ ；③ $\sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在R上单调递增 B、对 $\forall x \in R ， f (x) > - 1$ 恒成立 C、不存在正实数a，使得函数 $y = \frac{f (x)}{a^{x}}$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = x$ 只有一个解

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10. 如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度 $V (x)$ （单位：米/分钟）与时间 $x$ （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” $v (x)$ 为无人机在时间段 $[0 ， x]$ 内的最大速度与最小速度的差，则 $v (x)$ 的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知 $s i n α = \frac{1}{3} ，$ 且 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $t a n α$ ＝．

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12. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (m ， m + 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边， $α$ 的终边过点 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若 $α$ 的终边绕原点按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到角 $β$ ，则 $s i n β$ 的值为．

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} > 0$ ， $a_{n + 1} a_{n} - a_{n}^{2} = λ (λ \in R)$ ．给出下列四个结论：
① ${a_{n}}$ 是递增数列； ② $\forall λ \in R ， {a_{n}}$ 都不是等差数列；
③当 $λ = 1$ 时， $a_{1}$ 是 ${a_{n}}$ 中的最小项； ④当 $λ \geq \frac{1}{4}$ 时， $S_{2023} > 2022$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + a x ， x < a ， \\ 2 x ， x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 的值域为R，则a的一个取值为；若 $f (x)$ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x + \sqrt{3} c o s^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 ， S_{2} = a_{3}$ ．

(1)、若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{m}$ 成等比数列，求m的值；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B \neq \frac{π}{2} ， c o s 2 B = \sqrt{3} c o s B - 1$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定时，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $s i n A = \sqrt{3} s i n C ， b = 2$ ；
条件②： $A C = \sqrt{6} ， B C$ 边上的高为2；
条件③： $2 b = 3 a ， b s i n A = 1$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} s i n x ， x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ．

(1)、求 $f (x)$ 导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的零点；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值与最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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21. 若数列 ${a_{n}}$ 的子列 ${a_{k n - i}} (i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k - 1)$ 均为等差数列，则称 ${a_{n}}$ 为k阶等差数列．

(1)、若 $a_{n} = n$ ，数列 ${a_{3 n - 2}}$ 的前15项与 ${a_{4 n}}$ 的前15项中相同的项构成数列 ${b_{n}}$ ，写出 ${b_{n}}$ 的各项，并求 ${b_{n}}$ 的各项和；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 既是3阶也是4阶等差数列，设 ${a_{3 n - 2}} ， {a_{3 n - 1}} ， {a_{3 n}}$ 的公差分别为 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ ．
（ⅰ）判断 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ 的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列．

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