天津市河西区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A = {2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3 ， 7}$ C、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6}$ D、 ${3 ， 7}$

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2. 已知 $p$ ： $x y > 0$ ， $q$ ： $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题：p： $\forall x \in R ， x + | x | \geq 0$ 的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， x + | x | \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， x + | x | \leq 0$ C、 $\exists x \in R ， x + | x | < 0$ D、 $\forall x \in R ， x + | x | < 0$

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4. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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5. 下列函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x - 1 ， g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ B、 $f (x) = x^{2} ， g (x) = (\sqrt{x})^{4}$ C、 $f (x) = x^{2} ， g (x) = \sqrt[3]{x^{6}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x} ， g (x) = \frac{x}{\sqrt{x}}$

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6. 一元二次不等式 $14 - 4 x^{2} \geq x$ 的解集是（）

A、 $[- 2 ， \frac{7}{4}]$ B、 $[- \frac{7}{4} ， 2]$ C、 $[- 4 ， \frac{7}{2}]$ D、 $[- \frac{7}{2} ， 4]$

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7. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | x + 1 |$ 的最小值和最大值分别是（）

A、0和4 B、 $- 4$ 和4 C、无最小值，最大值为4 D、最小值为4，无最大值

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8. 函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数， $A (0 ， - 1)$ ， $B (3 ， 1)$ 是其图象上的两点，那么 $| f (x + 1) | \geq 1$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， 1] \cup [4 ， + ∞)$

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二、填空题

10. 已知集合 $A = {x ∣ 3 \leq x < 10} ， B = {x ∣ 2 < x < 7}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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11. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ ，则 $f (x)$ 的解析式为.

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12. 函数f（x）= $\sqrt{x + 1}$ + $\frac{1}{2 - x}$ 的定义域为．

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{4 b^{2}} + b$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 2 ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；若当 $x \in [a ， b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 已知 $a ， b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ .

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $\frac{(a + b + 4)^{2}}{a b}$ 的最小值.

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17. 已知数 $f (x) = 2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8}$ .

(1)、当 $k = \frac{1}{8}$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 对一切实数 $x$ 均成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数： $R = {\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 400 \\ 80000 ， x > 400 \end{array}$

(1)、将利润 $f (x)$ （单位：元）表示成月产量x的函数

(2)、当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

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