天津市河东区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {0 ， 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 下列函数中是奇函数的为（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{4} + x$ D、 $f (x) = 2 x + 1$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x \in {x | 2 - x \geq 0}$ ”是“ $x \in {x | 0 \leq x \leq 2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一元二次不等式 $x^{2} + p x + q < 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ ，则 $p + q =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、0 D、1

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5. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} + 1 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 \leq 0$

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6. 下列函数中，在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = - 3 x - 2$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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7. 下列不等式中成立的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (x + 4), x \geq 0 \\ x (x - 4), x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) \leq 5$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 5, 5]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 5] \cup [5, + \infty)$

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二、填空题

9. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝.

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10. 函数 $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 3}$ 的定义域为.

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11. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 1.1}$ ， $b = π^{0}$ ， $c = 3^{0.9}$ ，则a，b，c三者的大小关系．

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12. 已知定义在 $[a ， b]$ 上的函数 $f (x) = x^{3} + (m - 1) | x |$ 是奇函数，其中 $a ， b ， m$ 为常数，则 $a + b + m$ 的值等于.

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13. 函数 $y = 2 x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值等于.

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14. 若函数 $f (x) = \sqrt{a x + 1}$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 内单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，求：

(1)、 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、 $A \cap (∁_{R} B)$ .

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16. 已知不等式 $x^{2} + a x + b \leq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、解不等式 $x^{2} - b x - a \leq 0$ .

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17. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 3$ ．

(1)、求 $a b$ 的最大值；

(2)、求 $\frac{2}{a} + \frac{6}{b}$ 的最小值．

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18. 已知定义在区间 $[1 ， 2]$ 上两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ， $f (x) = - x^{2} + 2 a x - 1$ ， $a \geq 1$ ， $g (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值 $m (a)$ ：

(2)、若对于任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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