湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x < 0$ 或 $x > 1} ， B = {x | | x | > 1}$ ，则（）

A、 $A ⊆ B$ B、 $B ⊆ A$ C、 $A ∪ B = R$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} - x + 2 ⩽ 0$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 2 > 0$ B、 $\forall x \notin R ， x^{2} - x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 2 ⩽ 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 2 > 0$

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3. 下列四个式子中， $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y = \sqrt{x - 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ C、 $y = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 0 \\ - x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ D、 $y = {\begin{array}{l} 0 ， x 为有理数， \\ 1 ， x 为实数 \end{array}$

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4. “ $a > c > 0$ 且 $b > d > 0$ ”是“ $a b > c d$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若关于x的不等式 $x^{2} + (a + 1) x + a b > 0$ 的解集为 ${x | x \neq 1}$ ，则ab的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、－1

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6. 若 $x > 2$ ，则 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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7. 若偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1]$ 上是减函数，则（）

A、 $f (- \frac{5}{2}) < f (- 1) < f (3)$ B、 $f (- 1) < f (- \frac{5}{2}) < f (3)$ C、 $f (3) < f (- 1) < f (- \frac{5}{2})$ D、 $f (3) < f (- \frac{5}{2}) < f (- 1)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x \leq 1 \\ x^{2} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若 $n > m$ ，且 $f (n) = f (m)$ ，设 $t = n - m$ ，则 $t$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{17}{12}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (f (3)) = - 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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10. 已知集合M､N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $M \cap ∁_{R} N = \emptyset$ B、 $M \cup ∁_{R} N = R$ C、 $∁_{R} M \cup ∁_{R} N = ∁_{R} M$ D、 $∁_{R} M \cap ∁_{R} N = ∁_{R} M$

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11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = 2 + x + \frac{1}{x} (x < 0)$ 的最大值为0 B、函数 $y = \frac{| x | + 5}{\sqrt{| x | + 4}}$ 的最小值是2 C、若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值是1 D、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $a + b + \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$

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12. 对于函数 $y = f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的不动点；若 $f [f (x_{1})] = x_{1}$ ，则称 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的稳定点，则下列说法正确的是（）

A、任意的 $f (x)$ ，都有不动点 B、若 $f (x)$ 有不动点，则必有稳定点 C、存在 $f (x)$ ，有稳定点，无不动点 D、存在 $f (x)$ ，其稳定点均为不动点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 1} + \sqrt{2 x - 1}$ 的定义域是．

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14. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{3}{x + 1} < 1} ， B = {x ∣ a ⩽ x ⩽ a + 3}$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 若命题“ $\exists x \in [0 ， 3] ， x^{2} - 2 x - a ⩽ 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 2 b ， b + 1)$ 上的偶函数，且在 $(- 2 b ， 0]$ 上为增函数，则 $f (2 x - 1) ⩽ f (x)$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {x \in N ∣ 0 < x < 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， m^{2}} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ．

(1)、若 $a^{2} + 1 \in ∁_{U} B$ 且 $a \in U$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、设集合 $C = A \cap (∁_{U} B)$ ，若 $C$ 的真子集共有3个，求实数 $m$ 的值．

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18.

(1)、已知函数 $g (\sqrt{x + 1}) = 2 x + 1$ ，求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 为二次函数，且 $f (0) = 2 ， f (2) = f (- 1) = 0$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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19. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + x$ ．

(1)、将 $f (x)$ 写成分段函数；

(2)、在直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象，根据图象，写出 $f (x)$ 的单调区间与值域（不要求证明）；

(3)、若 $f (a + 1) > f (3 a - 2)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 求证下列问题：

(1)、已知 $a ， b ， c$ 均为正数，求证： $\frac{b c}{a} + \frac{a c}{b} + \frac{a b}{c}$ $\geq a + b + c$ .

(2)、已知 $x y > 0$ ，求证： $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ 的充要条件是 $x < y$ .

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21. 2021年为抑制房价过快上涨，各大城市相继开启了集中供地模式，某开发商经过数轮竞价，摘得如图所示的矩形地块 $A M P N$ ， $A M = 60 m$ ， $A N = 40 m$ ，现根据市政规划建设占地如图中矩形 $A B C D$ 的小区配套幼儿园，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上．

(1)、要使幼儿园的占地面积不小于 $576 m^{2}$ ， AB的长度应该在什么范围内？

(2)、如何设计方能使幼儿园的占地面积最大？最大值是多少平方米？

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22. 已知 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ ， $x \in (- 2 ， 2)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并说明理由；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上是增函数；

(3)、若不等式 $f (x) < (a - 2) t + 5$ 对任意 $x \in (- 2 ， 2)$ 和 $a \in [- 3 ， 0]$ 都恒成立，求t的取值范围．

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