黑龙江省齐齐哈尔市八校联合体2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x \leq 6} ， B = {x \in R | x^{2} - 3 x ⟩ 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$ B、 ${x | 3 < x \leq 6}$ C、 ${4 ， 5 ， 6}$ D、 ${x | x < 0$ 或 $3 < x \leq 6}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域 $[- 2 ， 2]$ ，则函数 $f (x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[0 ， 2]$

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3. 已知a= $2^{\frac{4}{3}}$ ，b= $3^{\frac{2}{3}}$ ，c= $25^{\frac{1}{3}}$ ，则（　　）

A、b＜a＜c B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、c＜a＜b

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4. 已知函数 $f (x) = a^{x - m} + n$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， m，n为常数）的图像恒过点（3，2），则函数 $g (x) = x^{m} - n$ 与x轴交点为（）

A、（1，0） B、 $(\sqrt[3]{2} ， 0)$ C、（－1，0） D、 $(- \sqrt[3]{2} ， 0)$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f（1）＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为（）

A、{x|0<x<1或x>2} B、{x|x<0或x>2} C、{x|x<0或x>3} D、{x|x<－1或x>1}

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7. 若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数m的值（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 2$ C、 $m = - 1$ 或2 D、 $m = - 2$ 或1

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} ， x ⩽ 0 \\ 1 ， x > 0 \end{array}$ ，则满 $f (x + 1) < f (2 x)$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、多选题

9. 下列函数在定义域上是奇函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = x | x |$ D、 $f (x) = - \sqrt[3]{x}$

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10. 德国数学家狄里克雷（Dirichlet， Peter Gustav Lejeune，1805~1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ .下列关于狄里克雷函数 $D (x)$ 的性质表述正确的是（）

A、 $D (π) = 1$ B、 $D (x)$ 的值域为 ${0 ， 1}$ C、任取一个不为零的有理数T， $D (x + T) = D (x)$ 对任意的 $x ∈ R$ 恒成立 D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in ∁_{R} Q$ ， $D (x_{1} + x_{2}) = D (x_{1}) + D (x_{2})$ 恒成立

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11. 下列叙述中正确的是（）

A、若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为8； B、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ”； C、命题“对任意 $x \in R$ ，有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定是“存在 $x \in R$ ，有 $x^{2} \geq 0$ ”； D、 $0 < x < 5$ 是 $| x - 1 | < 1$ 的必要不充分条件．

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12. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ， $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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三、填空题

13. 不等式 $2^{x^{2} - x} < 4$ 的解集为.

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14. 函数 $y = 2 x - \sqrt{x - 1}$ 的值域是．

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15. 已知函数f（x）= ${\begin{array}{l} （ a - 2 ） x ， x \geq 2 \\ （ \frac{1}{2} ）^{x} - 1 ， x < 2 \end{array}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f （ x_{1} ） - f （ x_{2} ）}{x_{1} - x_{2}} <$ 0 成立，则实数a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ，若对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | | x + a | < 1}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若p是q成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ， $f (0) = 1$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ ，求 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x + 1$ ．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、若 $f (a - 1) < 3$ ，求实数a的取值范围．

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20. 已知 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ．

(1)、若 $x ， y \in R$ ，判断 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ， $f (2) = 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $f (x) + f (x - 6) \leq 4$ 的解集．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．

(1)、求a与b的值；

(2)、若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) | x + a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、当 $a \geq 3$ ，函数f（x）在[－3，3]的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

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