河北省邢台市六校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ， A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} (A ∩ B) =$ （）

A、 ${- 3 ， - 2 ， 3}$ B、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 2 ， 3}$

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2. “ $a > b$ ”是“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知不等式 $x^{2} + 2 a x + a + 2 < 0$ 的解集为空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 2]$

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4. 已知函数 $f (2 x + 1) = 3 x + 2$ ，则 $f (3)$ 的值等于（）

A、11 B、2 C、5 D、-1

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5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列说法正确的是（）

A、若a<b，c<d，则ac<bd B、若a＜b，则 $\frac{1}{a + 1}$ ＞ $\frac{1}{b + 1}$ C、若 $\frac{a^{2}}{b}$ ＞ $\frac{a^{2}}{c}$ ，则 $\frac{1}{b} > \frac{1}{c}$ D、若a＞b，c＞d，则 $\frac{a + c}{b + c}$ ＞ $\frac{a + d}{b + d}$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 7 x + 3}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， \frac{7}{4})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{7}{4} ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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7. 设 $a$ 为实数，定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足： $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的表达式为 $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 4$ ，则使得 $f (2 a) > f (a + 1)$ 成立的 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， 1)$

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8. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (- x)$ ，若当 $0 < x ⩽ 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x + 9$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{33}{4}$ B、 $\frac{33}{4}$ C、-8 D、8

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二、解答题

9. 已知 $x ∈ R$ ，则使得 $2 | x | + \frac{32}{| x | + 2}$ 取得最小值时 $x$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 2$

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10. 已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + 2 a^{2} - a - 6 = 0$ 有实数根，命题 $q ： m - 1 \leq a \leq m + 3$ ．

(1)、若命题 $\neg p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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11. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 3) x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数， $m \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(5 - a)}^{\frac{1}{m}} > {(2 a - 1)}^{\frac{1}{m}}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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12. 某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数： $R = {\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 400 \\ 80000 ， x > 400 \end{array}$

(1)、将利润 $f (x)$ （单位：元）表示成月产量x的函数

(2)、当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + a}{x} ， a \in R$ ．

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - 3$ ，判断 $g (x)$ 的奇偶性并加以证明；

(2)、当 $a = 2$ 时，先用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，再求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值；

(3)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty) ， f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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14. 设函数 $h (x) = x^{2} + 1 ， g (x) = a x - b (a ， b \in R)$ ，令函数 $f (x) = h (x) - g (x)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = | f (x) |$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值．

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三、多选题

15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 5 ， x < - 1 \\ x^{2} ， - 1 ⩽ x < 2 \end{array}$ ，关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 4)$ C、 $f (- 1) = 1$ D、若 $f (x) = 3$ ，则 $x$ 的值是 $\sqrt{3}$

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16. 若函数 $f (1 - 2 x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} (x \neq 0)$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = 15$ B、 $f (2) = - \frac{3}{4}$ C、 $f (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0)$ D、 $f (\frac{1}{x}) = \frac{4 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0 且 x \neq 1)$

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17. 给定数集M，若对于任意 $a ， b \in M$ ，有 $a + b \in M$ ， $a - b \in M$ ，则称集合M为闭集合.则下列说法中正确的是（）

A、集合 $M = {- 6 ， - 3 ， 0 ， 3 ， 6}$ 为闭集合 B、集合 $M = {n | n = 3 k ， k ∈ Z}$ 为闭集合 C、正整数集不是闭集合 D、若集合 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 为闭集合，则 $A_{1} \cup A_{2}$ 为闭集合

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18. 已知 $a ， b \in R ， 4^{a} = b^{2} = 9$ ，则 $2^{a - b}$ 的值可能为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、24 D、 $\frac{1}{24}$

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19. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在区间 $[m ， n] \subseteq D$ 使得 $f (x)$ ：（1） $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上是单调函数；（2） $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域是 $[2 m ， 2 n]$ ，则称区间 $[m ， n]$ 为函数 $f (x)$ 的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

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四、填空题

20. 函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} + \sqrt{x^{2} - 1}$ 的定义域为．

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21. 计算： $1 . 5^{- \frac{1}{3}} \times {(\frac{6}{7})}^{0} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + (\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})^{6} - \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{\frac{2}{3}}} =$ ．

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22. 函数 $f (x)$ 为定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数， $f (x + 2)$ 为减函数，若 $f (m - 1) + f (3 - 2 m) < 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + 2 x + b \leq 0$ 的解集为 ${x | x = - \frac{1}{a}}$ ，且 $a > b$ ，则 $\frac{a - b}{a^{2} + b^{2} + 2}$ 的最大值为．

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