甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8} ， P = {2 ， 3 ， 6} ， Q = {3 ， 7 ， 8}$ ，则 $Q ∪ (∁_{U} P) =$ （）

A、 ${4 ， 5 ， 7 ， 8}$ B、 ${7 ， 8}$ C、 ${3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8}$ D、 ${2 ， 3 ， 6 ， 7 ， 8}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} - 3 x - 2 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x - 2 \leq 0$ B、 $\forall x \notin R ， x^{2} - 3 x - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x - 2 \leq 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x - 2 > 0$

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3. 若a，b，c为实数，且 $a < b < 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a c^{2} < b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} > a b > b^{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 - 2 x ， x ≥ - 1 \\ x + 6 ， x < - 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = 1$ ，则 $x =$ （）

A、1或 $- 5$ B、 $- 1$ 或 $- 5$ C、 $- 1$ 或5 D、1或5

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5. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 5$ ”是“ $1 < x < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $P = x^{2} + x - 3 ， Q = 2 x^{2} - 3 x + 1 ，$ 则（）

A、 $P > Q$ B、 $P < Q$ C、 $P ⩾ Q$ D、 $P ⩽ Q$

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7. 若正数x，y满足 $x + y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是（）

A、6 B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{a}{x} ， x > 1 \\ (3 - 5 a) x + 2 ， x ≤ 1 \end{array}$ 在 $R$ 上为减函数，则实数a的取值范围（）

A、 $(\frac{3}{5} ， \frac{5}{6}]$ B、 $[\frac{4}{5} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{5})$ D、 $\emptyset$

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二、多选题

9. 函数y＝(a²－4a＋4)a^x是指数函数，则a的值不可以是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 对于函数 $y = 2 (x - 3)^{2} + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、其图象开口向上 B、其图象的对称轴为直线 $x = - 3$ C、函数有最大值1 D、当 $x < 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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11. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增且图象关于 $y$ 轴对称的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $y = x^{- 2}$ D、 $f (x) = | x |$

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且对称轴为 $x = 1$ ，点 $B$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则下面结论中正确的是（）

A、 $2 a + b = 0$ B、 $4 a - 2 b + c ＜ 0$ C、 $b^{2} - 4 a c ＞ 0$ D、当 $y ＜ 0$ 时， $x ＜ - 1$ 或 $x ＞ 4$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - 2}}$ 的定义域是．

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14. 不等式 $\frac{2 - x}{4 + x} \geq 1$ 的解集是.

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15. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (4)$ 的值为．

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16. 已知奇函数 $f (x)$ 在R上单调递增，且 $f (1) = 2$ ，则 $x f (x) < 2$ 的解集为.

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四、解答题

17.

(1)、 $（ \sqrt{6} - 2 \sqrt{15} ） \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{20}$ ；

(2)、化简： $2 7^{- \frac{1}{3}} - （ \frac{1}{7} ）^{- 1} + （ \frac{25}{9} ）^{\frac{1}{2}} - （ \sqrt{2} ）^{0}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、求 $∁_{R} (A ∩ B)$ ， $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

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19. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ ，点 $A (1 ， 6) 、 B (2 ， 6)$ 是图象上的两点.

(1)、求a，b的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性.

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20. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 4}$ ， $N = {x | x + a - 1 > 0}$ ．

(1)、若 $M ∪ N = {x | x > - 2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in N$ 的充分不必要条件是 $x \in M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 求下列函数的解析式.

(1)、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (\frac{1}{x}) = 2 x - 1$ ， $x \neq 0$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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22. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的增函数，并且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) ， f (1) = 4 .$

(1)、求 $f (0)$ 的值.

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性.

(3)、若 $f (2 x + 3) - f (x) ＜ 8$ ，求x的取值范围.

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