内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-11-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　）

A、2组 B、3组 C、4组 D、5组

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2. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 在下列四个函数中，当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小的函数是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = 3 x - 2$ D、 $y = x^{2}$

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4. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ ， $B$ 为切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B A C = 25.5 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、52° B、51° C、61° D、64.5°

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5. 把点 $P (x ， y)$ 绕原点顺时针旋转270°，点 $P$ 的对应点的坐标是（）

A、 $(y ， - x)$ B、 $(- x ， - y)$ C、 $(- y ， x)$ D、 $(x ， y)$

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6. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b），进入其中时，会得到一个新的实数 $a^{2}$ +2b－3．例如把（2，－5）放入其中，就会得到 $2^{2}$ +2×（－5）－3=－9．现将实数对（m，－3m），放入其中，得到实数4，则m的值为（）

A、7 B、－1 C、3 D、7或－1

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7. 若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = a x + b$ 和 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，给出下列条件：① $∠ B = ∠ ACD$ ；② $∠ ADC = ∠ ACB$ ；③ $\frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B C}$ ；④ ${AC}^{2} = AD \cdot AB$ ，其中单独能够判定 $△ ABC ∽ △ ACD$ 的个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = 2$ ，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D ，交AC于点C ，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E ，交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $8 - π$ B、 $4 - π$ C、 $2 - \frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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10. 下列结论中：① $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ， $△ A B C$ 的周长为 $L$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2} L r$ ；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为 $\frac{1}{2}$ ；③圆内接平行四边形是矩形；④无论 $p$ 取何值，方程 $(x - 3) (x - 2) - p^{2} = 0$ 总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 正比例函数 $y = k_{1} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于A ， B两点，若A点坐标为 $(\sqrt{3} ， - 2 \sqrt{3})$ ，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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12. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．

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13. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．

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14. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S_{四边形ABCD}＝．

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15. 下列四个二次函数：① $y = x^{2}$ ，② $y = - 2 x^{2}$ ，③ $y = \frac{1}{2} x^{2}$ ，④ $y = 3 x^{2}$ ．其中抛物线开口从大到小的排列顺序是（填序号即可）．

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16. 如图， $A B$ 是圆O的弦， $O C ⊥ A B$ ，垂足为点C，将劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 沿弦 $A B$ 折叠交于 $O C$ 的中点D，若 $A B = 2 \sqrt{10}$ ，则圆O的半径为．

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17. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 $x^{2} + 5 x - 14 = 0$ 即 $x (x + 5) = 14$ 为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ${(x + x + 5)}^{2}$ ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2}$ ，据此易得 $x = 2$ .那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的正确构图是.（只填序号）

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三、解答题

18. 按要求解下列方程

(1)、 $3 x^{2} + 6 x - 4 = 0$ （配方法）

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ （因式分解法）

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19. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)、小明从A测温通道通过的概率是；

(2)、利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.

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20. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，每周可卖出300千克，经试销发现，该种商品每千克涨价1元，每周就少卖10千克，该商品的现销售单价60（元/千克），若该种商品每千克涨价x元（0<x<10）．

(1)、根据题意填写下表：

销售单价x（元/千克）
每千克利润（元）
每周销售量（千克）
每周利润（元）
现在
60
300
涨价后
20+x

(2)、为保证每周获得6090元的销售利润，则商品每千克应涨价多少元？

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21. 在△ABC中.BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．

(1)、y关于x的函数关系式是， x的取值范围是；

(2)、在平面直角坐标系中画出该函数图象；

(3)、将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

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22. 如图，已知三角形ABC的边AB是圆O的切线，切点为B． AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E，

(1)、求证：CB平分∠ACE；

(2)、若BE=3，CE=4，求圆O的半径．

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23. 综合与实践
问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△ $C B E^{'}$ （点A的对应点为点C）．延长AE交 $C E^{'}$ 于点F，连接DE．

猜想证明：

(1)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；

(3)、解决问题：
如图①，若AB＝5，CF＝1，请直接写出DE的长．

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24. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l： $y = k x + n$ 与y轴交于点C，与抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的另一个交点为D，已知 $A (- 1 ， 0) ， D (5 ， - 6)$ ，P点为抛物线 $y = ﹣ x^{2} + b x + c$ 上一动点（不与A、D重合）．

(1)、求抛物线和直线l的解析式；

(2)、当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作 $P F / / y$ 轴交直线l于点F，求 $P E + P F$ 的最大值；

(3)、设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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	销售单价x（元/千克）	每千克利润（元）	每周销售量（千克）	每周利润（元）
现在	60		300
涨价后		20+x