江西省抚州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-11-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程x²=x的解是（　　）

A、x=1 B、x=0 C、x₁=1，x₂=0 D、x₁=﹣1，x₂=0

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2. 两个完全相同的长方体，按如图方式摆放，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 在两个不透明的口袋中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其他区别，则在两个口袋中各取一个球，两球上的编号的和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）

A、四边形DEBF为平行四边形 B、若t＝4，则四边形DEBF为菱形 C、若t＝2，则四边形DEBF为矩形 D、若t＝6，则四边形DEBF为正方形

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6. 抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

7. 若关于x的一元二次方程x²-2021x+c＝0的一个根为-1，则另一个根为．

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8. 已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是（0，3），则这个二次函数的表达式可以是．

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9. 如图，正方形ABCD，AB＝4，E、F点分别是CD、AD边上的点，AE与BF相交于点H，AF＝DE＝1，G点是BE上的中点，则GH的长为．

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10. 如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边BC放置在x轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象经过点A（2，6），交斜边AC于E点，则E点的坐标为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x²-5x+4经过点C、D，则点B的坐标为．

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12. 如图，已知直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为．

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三、解答题

13.

(1)、计算：2sin30°-tan45°．

(2)、用适当的方法解一元二次方程：x²-2x-1＝0．

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14. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，且a+3b-2c＝15，求a+b-c的值．

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15. 已知关于x的一元二次方程x²-6x+m-3＝0的两个根为a，b．

(1)、若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值；

(2)、若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值．

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16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点E，且∠1＝∠F，求CF和DE的长．

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17. 在如图中，A、B两点在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，AB过O点，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．

(1)、在图1中，在x轴上画出点F，使四边形ADBF为矩形；

(2)、在图2中，画出菱形ACBF．

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18. 2021年1月以来，教育部相继出台文件，对加强中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质“五项管理”作出部署．抚州市某中学积极响应教育部的号召，对本校“五项管理”落实情况进行抽查，各年级分别抽查一项不同的管理项目．

(1)、若先抽查九年级，则选到“作业”这项管理检查的概率是；

(2)、若先抽查九年级，恰好选到“作业”，用画树状图或列表的方法求七年级和八年级选到“手机”和“体质”两项管理的概率．

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19. 已知二次函数y＝ax²+2x+c的图象经过点（1，4）和（0，3）两点，与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧）．

(1)、求二次函数的表达式及对称轴；

(2)、若点P在此抛物线上，且在x轴上方，求△PAB的最大面积．

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20. 如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2，图3是吊机的示意图，支架AB＝150cm，吊杆AM＝200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°

(1)、如图2，若AM⊥AB，求点M到地平面BC的距离；

(2)、如图3，当液压杆DE伸长时，此时点M比（1）中的点M到地平面BC的距离升高了21cm，求∠MAB的度数．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7）

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21. 如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m² ．

(1)、若馨望家的地比馨雨家的地多了50%，则馨望家地的面积是m²；

(2)、在（1）的条件下，求田埂的宽度．

(3)、若馨雨家今年收获了800斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每天可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜，馨雨家能赚多少元？

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22. 如图，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．

(1)、反比例函数y＝ $\frac{8}{x}$ （x＜0）反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的“位似反比例函数”；（填“是”或“不是”）

(2)、若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象过点A（1，4）．
①则m的值为；

②若A₂₀₂₂在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，对应点B₂₀₂₂在“位似反比例函数”y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）的图象上，求证：BB₂₀₂₂＝2AA₂₀₂₂；

(3)、在（2）的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形，若存在，求出P点的坐标．

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23.

(1)、问题探究：在图1和图2中，AB $∥$ CD，AD⊥BC于点O．
①如图1，若点O是BC的中点，AD＝6，BC＝8，则AD²＝， BC²＝，（AB+CD）²＝；
②如图2，AO：DO＝1：3，AO＝3，BO＝4，则AD²＝， BC²＝，（AB+CD）²＝；

(2)、请你观察（1）中的计算结果，猜想AD² ， BC² ，（AB+CD）²三者之间的关系．

(3)、归纳证明：
请利用图2证明你发现的关系式；

(4)、应用结论：
如图3，在矩形ABCD中，E，F两点均在AD边上，BE⊥CF交于G点，EF：BE＝1：4，CF＝3，BC＝4．求证：CG＝CD；

(5)、拓展应用：
如图4，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD交AB于点E，交BD于点F，AE＝5，BD＝10，EC＝15，求BC的长．

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