浙江省南太湖联盟2022-2023学年高二上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设O为原点，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为（）

A、－1＋i B、1－i C、－5－5i D、5＋5i

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2. 已知集合 $A = (- \infty ， - 2] ∪ [3 ， + \infty)$ ， $Z$ 为整数集，则 $(∁_{R} A) ∩ Z =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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3. 已知 $a < b$ ，则 $\frac{b - a + 1}{b - a} + b - a$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、4 D、1

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4. 已知 $\frac{s i n (α - π) + c o s (π - α)}{s i n (\frac{π}{2} - α) + c o s (\frac{π}{2} + α)} = 5$ ，则 $t a n α$ 等于（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为 $\sqrt{17}$ 的圆台，其两底面之间的距离为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. 若 $a = 3^{0.3} ， b = \log_{3} 0.3 ， c = \log_{\frac{1}{3}} 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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7. 有四个幂函数：① $f (x) = x^{- 1}$ ；② $f (x) = x^{- 2}$ ；③ $f (x) = x^{3}$ ；④ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ${y | y \in R ，$ 且 $y \neq 0}$ ；（3）在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，－个错误，则他研究的函数是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若 $| \vec{O A} | = 2$ ，且 $\vec{O A} \cdot \vec{A P} = - 2$ ，则 $| \vec{O A} + \vec{O P} |$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、9 D、16

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二、多选题

9. 已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，标准差为 $s$ ，则（）

A、数据 $x_{1}^{2} ， x_{2}^{2} ， \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ， x_{n}^{2}$ 的平均数为 ${\bar{x}}^{2}$ ，标准差为 $s^{2}$ B、数据 $2 x_{1} ， 2 x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， 2 x_{n}$ 的平均数为 $2 \bar{x}$ ，标准差为 $2 s$ C、数据 $x_{1} + 2 ， x_{2} + 2 ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n} + 2$ 的平均数为 $\bar{x} + 2$ ，方差为 $s^{2}$ D、数据 $2 x_{1} - 2 ， 2 x_{2} - 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 x_{n} - 2$ 的平均数为 $2 \bar{x} - 2$ ，方差为 $2 s^{2}$

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10. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，所得图象关于原点对称，则 $φ$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{π}{2}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11. 三角形有一个角是 $6 0^{°}$ ，这个角的两边长分别为8和5，则（）．

A、三角形另一边长为7 B、三角形的周长为20 C、三角形内切圆周长为3π D、三角形外接圆面积为 $\frac{49 π}{3}$

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12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{20}{3}$ B、该半正多面体过 $A ， B ， C$ 三点的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、该半正多面体外接球的表面积为8π D、该半正多面体的顶点数 $V$ 、面数 $F$ 、棱数 $E$ 满足关系式 $V + F - E = 2$

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三、填空题

13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ 则密码被成功破译的概率．

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14. 写出一个与向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ 的夹角为45°的向量 $\vec{b} =$ ．（答案不唯一写出一个即可）

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15. 如图，已知 $A P ⊥ B P ， A P ⊥ P C ， ∠ A B P = ∠ A C P = ∠ B A C = 60 ° ， P A = 1$ ， D是 $B C$ 中点，则点B到平面 $A P D$ 的距离是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 | ， x \leq 0 ， \\ \lg x ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $3 m f^{2} (x) - (2 m + 3) f (x) + 2 = 0$ 有6个不同的实数解，则m的取值范围是．

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四、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $a = 2$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $\vec{O A} = (4 ， 0)$ ， $\vec{O B} = (2 ， 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{O C} = (1 - λ) \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，其中 $λ^{2} \neq λ$ ．

(1)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 及 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量；

(2)、证明 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，并求当 $\vec{A B} = \vec{B C}$ 时 $λ$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{1}{2} x - \sqrt{3} c o s \frac{1}{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心坐标 $；$

(2)、当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{9 π}{4})$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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20. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；

(3)、从评分在 $[40 ， 60)$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[50 ， 60)$ 的概率．

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21. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = - \frac{1}{2} + \frac{a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若关于 $m$ 的不等式 $f (- 2 m^{2} + m - 4) + f (m^{2} - 3 m t) \leq 0$ 在 $m \in (1 ， 3)$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P B C$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = C D = 3 ， B C = 4$ ，点 $M ， N$ 分别在线段 $A D$ 和 $P C$ 上，且 $\frac{D M}{A M} = \frac{C N}{P N} = 2$ ．

(1)、求证： $P M / /$ 平面 $B D N$ ；

(2)、设二面角 $P - B C - A$ 大小为 $θ$ ，若 $c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线 $B D$ 和平面 $P A D$ 所成角的正弦值．

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