广东省深圳市六校联盟2023届高三上学期数学10月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} > 9} ， N = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${3 ， 4 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${4 ， 5}$

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2. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、0 B、-1 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 设复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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4. 命题“ $\forall x \in [0, + \infty), x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty), x_{0}^{3} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0, + \infty), x_{0}^{3} + x_{0} \geq 0$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用 $I$ (单位：瓦/米² ，即 $W / m^{2}$ )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 $L$ (单位：分贝)表示，它们满足换算公式： $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ ( $L \geq 0$ ，其中 $I_{0} = 1 \times 10^{- 12} W / m^{2}$ 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{100}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 已知 $a = l o g_{5} 2 ， b = l o g_{0.5} 0.4 ， c = 0 . 5^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，若 $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若 $a > b$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a - b > 0$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 有以下说法，其中正确的有（）

A、“ $m$ 是有理数”是“ $m$ 是实数”的充分不必要条件 B、“ $x \in A ∩ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的必要不充分条件 C、“ $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ”是“ $x = 3$ ”的必要不充分条件 D、“ $x > 3$ ”是“ $x^{2} > 4$ ”的充分不必要条件

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11. 给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A、函数 $y = t a n x$ 的图象关于点 $(\frac{k π}{2} ， 0) (k \in Z)$ 对称 B、函数 $y = s i n | x |$ 是最小正周期为 $π$ 的周期函数 C、 $θ$ 为第二象限的角，且 $| c o s θ | > | t a n θ |$ ，则 $| s i n θ | > | c o s θ |$ D、函数 $y = c o s^{2} x + s i n x$ 的最小值为 $- 1$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数且满足 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) =$ $a^{x} + b (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．若 $f (- 1) + f (4) = 12$ ，则（）

A、 $a = 4 ， b = - 16$ B、 $a = - 3 ， b = - 9$ C、 $f (2022) = 0$ D、 $f (\frac{2021}{2}) = 8$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = a x + c o s x$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 若 $s i n (\frac{π}{7} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{14} - 2 α) =$ ．

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16. 如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x - a l n x$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的极值．

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18. 求解下列问题：

(1)、已知函数 $f (x) = 2 s i n x + c o s x$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $t a n x = 2$ 时，求 $\frac{2 s i n^{2} x}{s i n 2 x - c o s 2 x + 1}$ 的值．

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19. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性和单调性；

(2)、若 $2^{2 x} + 2^{- 2 x} \geq a f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D = 3$ ，且 $\sin ∠ A D B = \sqrt{3} \sin B$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $A D ⊥ A C$ ， $B C = 3 B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

(1)、据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？

(2)、为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价 $x (x \geq 16)$ 元，并投入 $\frac{33}{4} (x - 16)$ 万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 $\frac{0.8}{(x - 15)^{2}}$ 万瓶，则当每瓶售价 $x$ 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润 $=$ 月销售总收入 $-$ 月总成本)

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22. 已知函数 $f (x) = a x - 1 + l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，证明： $x f (x) \geq - \frac{1}{e^{x}}$ .

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