广东省深圳市宝安区2023届高三上学期数学第一次调研（10月）试卷

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若集合 $M = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0} ， N = {x ∣ \frac{x}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 3}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ 1 \leq x < 3}$

查看试题解析
2. 若 $z + 2 \bar{z} + 1 = - 2 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、0 D、1

查看试题解析
3. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 上，且 $A E = \frac{1}{3} A D$ ， $C F = \frac{2}{3} C D$ ，点 $G$ 为线段 $E F$ 的中点，记 $\vec{B A} = \vec{m} ， \vec{B C} = \vec{n}$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{5}{6} \vec{m} + \frac{2}{3} \vec{n}$ B、 $\frac{5}{3} \vec{m} + \frac{4}{3} \vec{n}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{m} + \frac{5}{3} \vec{n}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{m} + \frac{5}{6} \vec{n}$

查看试题解析
4. 我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学､当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，那么此数列的项数为（）

A、56 B、57 C、58 D、59

查看试题解析
5. 若 $a ， b ， c$ 均为正数，且满足 $a^{2} + 2 a b + 2 a c + 4 b c = 12$ ，则 $a + b + c$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足：对 $\forall x \in R ， f (x) + f (x + \frac{π}{4}) = 0$ ， $f (x)$ 图像关于点 $(\frac{3 π}{16} ， 0)$ 中心对称，则对 $\forall x \in R ， f (a + x) - f (a - x) = 0$ 成立的 $a$ 的最大负数值（）

A、 $- \frac{π}{16}$ B、 $- \frac{3 π}{16}$ C、 $- \frac{π}{8}$ D、 $- \frac{π}{4}$

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x - l n x$ 在区间 $(3 ， 4)$ 上不单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{8}] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{3}]$ C、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{3})$ D、 $(- ∞ ， - \frac{1}{3}) ∪ (- \frac{1}{8} ， + ∞)$

查看试题解析
8. 已知角A为△ABC中一个内角，如果适当排列sinA，cosA，tanA的顺序，可使它们成为一个等比数列，那么角A的大小属于区间（）

A、 $(0 ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， π)$

查看试题解析

二、多选题

9. 关于 ${(1 - 2 x)}^{2021} = a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot x^{2} + ⋯ + a_{2021} \cdot x^{2021} (x \in R)$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2021} = 3^{2021}$ C、 $a_{3} = 8 C_{2021}^{3}$ D、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + ⋯ + a_{2021} = 1 - 3^{2021}$

查看试题解析
10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x - 1) ， x > 2 ， \\ 2^{x} - 3 ， x \leq 2 ， \end{array}$ 则以下结论正确的为（）．

A、 $f (x)$ 为R上的增函数 B、 $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ ，且 $1 < x_{0} < 2$ C、若 $f (m) = 5$ ，则 $m = 33$ D、 $f (x)$ 的值域为R

查看试题解析
11. 下列不等关系中，正确的是（）

A、 $l n 2 <$ $\frac{2}{e}$ B、 $\frac{l n 3}{l n π} < \frac{3}{π}$ C、 $\frac{e}{2}$ $> l n 3$ D、 $\sqrt{e}$ $> 2 - l n 2$

查看试题解析
12. 双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点 $F_{1} (- a ， 0)$ ， $F_{2} (a ， 0)$ 距离之积等于 $a^{2} (a > 0)$ 的点的轨迹称为双扭线C．已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（）

A、双扭线C关于原点O中心对称； B、 $- \frac{a}{2} \leq y_{0} \leq \frac{a}{2}$ ； C、双扭线C上满足 $| P F_{1} | = | P F_{2} |$ 的点P有两个； D、 $| P O |$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$ ．

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} - 3 a x + 9 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
14. 函数 $f (x) = ln (\frac{2 x}{1 + x} + a)$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

查看试题解析
15. 已知方程 $1 + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ ⋯ - \frac{x^{2022}}{2022} = 0$ 的所有实数根都在区间 $[a ， b]$ 内（其中 $a ， b \in Z$ ），则 $b - a$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同 $.$ 现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $\sqrt{3} (a - b c o s C) = c s i n B$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $b = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 1$ ， $S_{7} = 14$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot b_{n} = 2^{\frac{n^{2} + n}{2}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} \cos (a_{n} π)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

查看试题解析
19. 如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， $A B = A C = 2$ ， AA₁=4，AB⊥AC，BE⊥AB₁交AA₁于点E，D为CC₁的中点.

(1)、求证：BE⊥平面AB₁C；

(2)、求二面角C—AB₁—D的余弦值.

查看试题解析
20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、求椭圆C的离心率和长轴长；

(2)、已知直线 $y = k x + 2$ 与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得 $△ P A B$ 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

查看试题解析
21. 随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入健身运动中.国家统计局数据显示，2021年有5亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2021年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：
平均每周健身天数
不大于2
3或4
不少于5
人数（男）
20
35
9
人数（女）
10
20
6
若某人平均每周进行健身的天数不少于5，则称其为“健身达人”.健身房规定消费金额不超过1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.

(1)、已知金牌会员都是健身达人，从健身达人中随机取2人，求他们均是金牌会员的概率；

(2)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推测性别与是否为“健身达人”有关系？

(3)、该健身机构在2021年年底针对这100位消费者举办了一次消费返利活动，现有以下两种方案：
方案一：按分层抽样从普通会员､银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元､288元､888元的幸运奖励；
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案､2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.
请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - l n x - 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = a x - a - 1 (a > 0)$ 有唯一实根 $x_{0}$ ，求证： $1 < x_{0} < 2$ .

查看试题解析

平均每周健身天数	不大于2	3或4	不少于5
人数（男）	20	35	9
人数（女）	10	20	6

$α$	0.1	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879