广东省惠州市2023届高三上学期数学第二次调研试卷

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 5 - x \geq - 1}$ ，集合 $N = {x | y = \sqrt{x}}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | x \geq 6}$ B、 ${x | 0 < x \leq 4}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 6}$ D、 ${x | 0 < x \leq 6}$

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2. 设 $a \in R$ ，若复数 $\frac{a + i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a =$ （）

A、0 B、–1 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 从 $2 ， 4 ， 6 ， 8$ 中任取2个不同的数 $a ， b$ ，则 $| a - b | = 4$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- 2 \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、8 C、-8 D、-4

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5. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $12 \sqrt{2} π$ B、16π C、18π D、 $18 \sqrt{2} π$

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6. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为T．若 $\frac{2 π}{3} < T < π$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x + \frac{a}{x} + 1$ ．若函数 $y = f (x)$ 在 $[1 ， + ∞)$ 上的最小值为3，则实数a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.由曲线 $x^{2} = 4 y$ ， $x^{2} = - 4 y$ ， $x = 4$ ， $x = - 4$ 围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_{1}$ ，满足 $x^{2} + y^{2} \leq 16$ ， $x^{2} + (y - 2)^{2} \geq 4$ ， $x^{2} + (y + 2)^{2} \geq 4$ 的点 $(x ， y)$ 组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 满足的关系式为（）

A、 $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} < V_{2}$ D、 $V_{1} = V_{2}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $a_{4} - a_{3} = 4$ C、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 2^{n + 1}$

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10. 设抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点， $E (3 ， 1)$ 为定点，则下列结论正确的是（）

A、准线l的方程是 $x = - 2$ B、 $| M E | - | M F |$ 的最大值为2 C、 $| M E | + | M F |$ 的最小值为7 D、以线段 $M F$ 为直径的圆与y轴相切

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11. 下列说法正确的是（）

A、数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7. B、若 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) = 0.3$ . C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M | N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则M、N相互独立. D、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.712$ ，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $χ_{0.05} = 3.841$ ），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05.

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12. 对于函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，设 $x_{1} \in {x ∣ f (x) = 0} ， x_{2} \in {x ∣ g (x) = 0}$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $| x_{1} - x_{2} | \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“零点相邻函数”.若函数 $f (x) = e^{x - 3} + x - 4$ 与 $g (x) = l n x - m x$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、 $\frac{l n 5}{5}$ B、 $\frac{l n 3}{3}$ C、 $\frac{l n 2}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. $(1 - x) (x - 2)^{6}$ 的展开式中，x的系数为.（用数字作答）

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14. 过点 $P (2 ， 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + a ， x < 1 \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - 2$ 有3个零点，则实数a的取值范围是.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l ： y = 2 \sqrt{2} (x - c)$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ （ $A$ 在 $B$ 的上方）两点，若 $| A F | = 5 | B F |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为；已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线 $C$ 右支上任意一点，过点 $P$ 的直线 $l^{'} ： \frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 分别与双曲线 $C$ 的两条渐近线交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 2$ ，则双曲线 $C$ 的方程为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 9$ ， ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公差为2的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在底面 $A B C D$ 是菱形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， E、F、G、H、N分别是棱 $C C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $D D_{1}$ 、 $C D$ 、 $B C$ 的中点，点P在四边形 $E F G H$ 内部（包含边界）运动.

(1)、现有如下三个条件：条件① $G E ∩ F H = P$ ；条件② $P \in F H$ ；条件③ $\vec{E P} = \vec{P F}$ .
请从上述三个条件中选择一个条件，能使 $P N / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ 成立，并写出证明过程；（注：多次选择分别证明，只按第一次选择计分）

(2)、求平面 $F G N$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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19. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，且 $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ .

(1)、求B

(2)、若 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $B M$ 的最小值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.

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20. “双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数
课后服务活动
1天
2~4天
5天
仅参加学业辅导
10人
11人
4人
仅参加体育锻炼
5人
12人
1人
仅参加实践能力创新培养
3人
12人
1人

(1)、从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；

(2)、从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；

(3)、若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有 $n (0 < n \leq 14)$ 人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差 $D (X)$ 、 $D (Y)$ 的大小关系（结论不要求证明）．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2}$ ，上顶点为H，O为坐标原点， $∠ O H F_{2} = 30 °$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设经过点 $F_{2}$ 且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点 $P (- 2 ， 0)$ ， $Q (2 ， 0)$ ．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记 $△ M P Q$ ， $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{△ M P Q}$ ， $S_{△ N P Q}$ ，求 $\frac{S_{△ M P Q}}{S_{△ N P Q}}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + 2 x^{2} - 2$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 8 x - 8$ ，且当对于任意实数 $λ \in [- 1 ， 2]$ 时，存在正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $λ (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的最小正整数值.

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每周参加活动天数课后服务活动	1天	2~4天	5天
仅参加学业辅导	10人	11人	4人
仅参加体育锻炼	5人	12人	1人
仅参加实践能力创新培养	3人	12人	1人