广东省多校2023届高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {x | x^{2} < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $（ - \infty ， 1]$ B、 $[0 ， \sqrt{3}]$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1]$ D、 $[1 ， \sqrt{3})$

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2. 已知复数 $(1 + 2 i) (z - 1) = - 2 + i$ ，则 $| z |$ =（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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3. 已知 $s i n θ = \frac{1}{5}$ ，则 $s i n (2 θ - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{23}{25}$ D、 $- \frac{23}{25}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 2 - m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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5. 某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（）
件数
7
8
9
10
11
人数
3
6
5
4
2

A、8.5 B、9 C、9.5 D、10

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6. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m³为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m³ ，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m³）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式 $y = 0.05 + λ e^{- t}$ $(λ \in R)$ ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（）

A、5周 B、6周 C、7周 D、8周

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7. 已知 $E$ 是球 $O$ 内一点，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，其中最大截面圆的面积为 $4 π$ ，最小截面圆的面积为 $π$ ，则 $O E$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 对任意的正实数 $x$ ， $y$ ， $\sqrt{x} + \sqrt{5 y} \leq k \sqrt{x + y}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、多选题

9. $a b + b - a - 1 = 0$ 的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a = - 1$ B、 $a = b$ C、 $b = 1$ D、 $a b = 1$

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10. 如图所示，已知几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，则（）

A、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $A_{1} D ∥$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ C、异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为60° D、 $A_{1} D ⊥ B_{1} D_{1}$

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11. 设函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) - 1 (ω ＞ 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 ， {| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = π$ ，则 $ω = 1$ B、存在 $ω \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{19}{12} ， \frac{25}{12})$ D、 $\forall ω \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (2) = 2$ ， $f (x) + f (2 - x) = 2$ ， $f (5 x) = 2 f (x)$ .当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 2$ 时， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ .则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (\frac{9}{8}) = \frac{25}{16}$ C、 $f (\frac{47}{25}) = \frac{3}{2}$ D、 $f (\frac{1}{1000}) = \frac{1}{16}$

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三、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的准线恰好平分圆 $C ： x^{2} + y^{2} - a x - (a + 1) y = 0$ 的周长，则 $a =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x l n x + m x + 1$ 的零点恰好是 $f (x)$ 的极值点，则 $m =$ .

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15. 某足球比赛共有六支球队参赛（包括甲、乙、丙三支球队），以抽签方式将这六支球队平均分为三组，甲、乙、丙三支球队都分在不同组的概率为．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上一点，且直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，若半径为 $b$ 的圆 $M$ 同时与 $F_{1} P$ 的延长线， $F_{1} F_{2}$ 的延长线以及线段 $P F_{2}$ 相切，则椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = \frac{b (2 b - c)}{2}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c < b$ ， $b + c = \sqrt{2} a$ ，求 $s i n C$ ．

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18. 冬奥会全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个大项，15个分项，109个小项，共计产生109枚金牌.某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛.知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的.得分规则如下：所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得2分；选2项且正确得6分.

(1)、同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲该题获得0分的概率.

(2)、学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略：①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答.为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略?

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 9 ， a_{3} = 45 ， {a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ 为等比数列.

(1)、证明： ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 是等差数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

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20. 如图，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内， $D E$ 是三棱锥 $D - A B C$ 的高，且 $D E = 2$ ． $△ A B C$ 是边长为 $6$ 的正三角形， $D B = D C = 5$ ， $F$ 为 $B C$ 中点.

(1)、证明：点 $E$ 在 $A F$ 上.

(2)、点 $G$ 是棱 $A C$ 上的一点（不含端点），求平面 $D E G$ 与平面 $B C D$ 夹角余弦值的最大值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (4 ， 0)$ 到渐近线的距离为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得点 $F$ 到直线 $P A ， P B$ 的距离相等? 若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} - 3 x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若 $\frac{f (x)}{e^{x}} > - a$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，求整数 $a$ 的最小值.

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件数	7	8	9	10	11
人数	3	6	5	4	2