广东省2023届高三上学期10月大联考数学试题

试卷更新日期：2022-11-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (- \infty ， - 2] \cup [3 ， + \infty) ， B = [0 ， 4]$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $[0.3)$ B、 $(- 2 ， 4]$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 4)$

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2. 若复数 $z$ 满足： $(4 + 3 i) z = 5 (3 + i)$ ，则（）

A、 $z = 1 + 3 i$ B、 $z = 3 + i$ C、 $z = 3 - i$ D、 $z = 1 - 3 i$

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3. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (- 6.0)$ ，则其欧拉线的一般式方程为（）

A、 $3 x + y = 1$ B、 $3 x - y = 1$ C、 $x + 3 y = 0$ D、 $x - 3 y = 0$

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4. 若 $p ： (x + 1) (x - 2) ⩽ 0 ， q ： \frac{x - 2}{x + 2} ⩽ 0$ ，则 $p$ 为 $q$ 的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，实轴长为2，实轴的左端点为 $A$ ，虚轴的上顶点为 $B ， C$ 为右支上任意一点，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{6}$ 成等比数列，若 $a_{n} = 2023$ ，则 $n =$ （）

A、568 B、566 C、675 D、696

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7. 一批学生分别来自于一班与二班，一班、二班中女生的占比分别为 $40 % ， 50 %$ .将这两个班的学生合编成一个大班，从大班中随机抽取1名学生，已知抽取到女生的概率为 $44 %$ ，然后从大班中随机抽取1名学生，若抽取到的是女生，则她来自一班的概率为（）

A、 $\frac{6}{11}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{22}{75}$

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8. 已知棱长都为3的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ， E$ 分别为棱 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上的点，当 $A_{1} D + D E + E A$ 取得最小值时， $D E$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{30}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{20}$

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二、多选题

9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方法.某学校要求学生在开学的第一周连续七天内进行体温自测，已知小张在本周内每天自测一次腋下体温（单位： $° C$ ），依次为36.2，36.1，36：6，36.2，36.3，36：3，36.2，则该组数据的（）

A、极差为 $0.5 ° C$ B、众数为36.3 $° C$ C、中位数为 $36.2 ° C$ D、第80百分位数为 $36.3 ° C$

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10. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (g (x))$ 有意义， $f (x)$ 与 $g (x)$ 都为 $R$ 上单调递增的奇函数，则（）

A、 $f (x) g (x)$ 为偶函数 B、 $f (x) g (x)$ 为 $R$ 上的单调递增函数 C、 $f (g (x))$ 为奇函数 D、 $f (g (x))$ 为 $R$ 上的单调递增函数

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆的上顶点和右顶点分别为 $A$ ， B，若 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $P ， Q$ 关于坐标原点对称，则（）

A、 $| P F_{2} | + | Q F_{2} | = \sqrt{6}$ B、 $△ P Q B$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 四边的平方和的最小值为12 D、椭圆上存在无数个点 $M$ ，使得 $∠ F_{1} M F_{2} > \frac{π}{2}$

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12. 以下的真命题是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a | c | > b | c |$ B、若 $a < b < c < 0 . d < e < f < 0$ ，则 $\frac{a}{f} > \frac{b}{e} > \frac{c}{d}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a} > \frac{a - c}{b}$ D、若 $0 < a < 1 ， 0 < b < 1$ ，则 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} > 2 \sqrt{a b}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 不共线，若 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $- 2 \vec{e_{1}} + m \vec{e_{2}}$ 共线，则实数 $m$ 的值为.

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14. 已知 $θ \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ ，且 $c o s 2 θ + 2 c o s θ + 1 = s i n^{2} θ$ ，则 $c o s 2 θ =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} e^{x} - 2 e^{- x} - 2 s i n x + 1 ， x \geq 0 \\ - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} ， x < 0 \end{array}$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的，若 $f [l o g_{3} (x^{2} - x)] > f (l o g_{3} 2)$ ，则 $x$ 的取值范围为.

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16. 已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B C ， ∠ A B C = 120 °$ ，且 $B A = B C ， A C = 6 ， P B = 4$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2 ， 2 S_{n} = n (a_{n + 1} - 1)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ 的表达式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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18. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化、总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”·····.某同学为了验证“天上钩钩云，地上雨淋淋”的现象，在气象局获取了200天的天气情况数据，得到如下2x2列联表：
天上钩钩云
地上雨淋淋
总计
下雨
未下雨
出现
60
100
未出现
70
总计
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、根据所给数据，将上述列联表补充完整，并根据小概率值 $α$ =0.01的独立性检验，分析出现“天上钩钩云”与次日的“地上雨淋淋”是否有关.

(2)、按分层随机抽样的方式在该地区统计的“地上雨淋淋”中下雨的天数中随机抽取9天，再从这9天中任意选取3天，记其中未出现“天上钩钩云”的天数为X，求X的分布列与期望.

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19. 在 $△ A B C$ 中，其内角分别为 $A ， B ， C$ ，且满足 $s i n C - s i n B = s i n (A - B)$ .

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、已知 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3} ，$ $D$ 为 $B C$ 边上的一点， $∠ B A D = \frac{π}{6} ， A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} = 2 B C = 4$ ，点 $G$ 在棱 $B B_{1}$ 上， $B B_{1} = 4 B_{1} G$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C C_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证：平面 $O G F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面A₁B₁C₁D₁的夹角的大小.

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21. 已知抛物线 $E ： y = a x^{2} (a > 0)$ 的焦点为 $F ， A$ 为 $E$ 上一点， $| A F |$ 的最小值为1.

(1)、求抛物线 $E$ 的标准方程；

(2)、过焦点 $F$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{1}$ 与抛物线 $E$ 相交于 $P ， Q$ 两点， $l_{2}$ 与抛物线 $E$ 相交于 $M ， N$ 两点.若 $C ， D$ 分别是线段 $P Q ， M N$ 的中点，求 $| F C |^{2} + | F D |^{2}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} ， f (x)$ 的导函数记为 $f^{'} (x) ， g (x) = 2 l n x ， h (x) = f^{'} (x)$ $+ g (x)$

(1)、求函数 $h (x)$ 切线斜率的最小值；

(2)、设函数 $F (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线方程为 $y = k x + m$ ，若 $[F (x) - (k x + m)] (x - x_{0}) > 0$ 生 $F (x)$ 的定义域内（除去 $x = x_{0})$ 成立，则称 $x_{0}$ 为函数 $F (x)$ 的“奇点”.试问函数 $h (x)$ 是否存在奇点"?若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.

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天上钩钩云	地上雨淋淋		总计
天上钩钩云	下雨	未下雨	总计
出现	60		100
未出现		70
总计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828