四川省成都市四县区（金堂、大邑、蒲江、新津）2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 1 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 1 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in (- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 1 \leq 0$

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2. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \leq 4}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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3. 在新冠核酸检测时，成都某社区部分党员参加了扫码或秩序的抗疫志愿服务工作，其中参与扫码的有20名，参与维持秩序的有40名，既参与扫码又参与维持秩序的有5名，则该社区参与抗疫的党员人数为（）

A、65名 B、60名 C、55名 D、50名

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4. “ $x < 4$ ”是“ $1 < x < 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x < 0 \\ 2 x - 5 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、-1 B、2 C、-7 D、3

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6. 下列各组函数是同一函数的是（）
① $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ ；② $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$ ；③ $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ .

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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7. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (x - 1) < 0}$ ， $B = {x | x \geq a}$ ， $A ⊆ B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0 (m \in R)$ 的两个不相等的实根均在区间 $(0 ， + ∞)$ 内，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 如果 $b > a > 0 > c > d$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $b c < a c$ B、 $a^{2} > c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{a}{b}$

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10. 下列命题中，为假命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - x \geq x + 1$ B、函数 $y = \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为2 C、对任意非零实数 $a$ ， $b$ ，都有 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq 2$ D、 $\exists x_{0} \in (- 1 ， + \infty)$ ，使得 $x_{0} + \frac{4}{x_{0} + 1} = 4$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ ，则下列正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ B、 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ ， $f (- x) = f (x)$ C、函数 $g (x) = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 5 ， 3]$ D、若 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ，则其定义域必为 $[- 2 ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， 2]$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（）

A、 $f (f (4)) = 3$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， \frac{10}{3}]$ 上的最大值为2 C、 $f (x)$ 的解析式可表示为： $f (x) = x - 3 + 2 | x - 3 |$ D、 $\exists a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq a$ 的解集为 $[\frac{3}{2} ， \frac{7}{2}]$

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三、填空题

13. 已知全集 $U = {3 ， a}$ ，集合 $A = {b}$ ， $∁_{U} A = {5}$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + a}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[2.1] = 2$ ， $[π] = 3$ ， $[- 1.2] = - 2$ ，定义函数 ${x} = x - [x]$ ，则下列四个结论中正确的编号为.
①函数 ${x}$ 的定义域是 $R$ ，值域为 $[0 ， 1)$ ；
②函数 ${x}$ 是增函数；
③ ${x + 2022} = {x}$ ；
④方程 ${x} = \frac{2}{3}$ 有无数个解.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a - 2 \leq x \leq a + 1}$ ，集合 $B = {x | (x + 2) (x - 2) \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若__________，求实数 $a$ 的取值范围.
在① $A ∩ B = A$ ；②“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的必要不充分条件；③ $A \cap B = \emptyset$ ，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ， $f (0) = 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (\sqrt{x + 1}) = f (x) (x \geq - 1)$ ，求函数 $g (x)$ 的解析式.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 m x + 1$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 在 $- 4 \leq x \leq 3$ 上的最大值和最小值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $- 4 \leq x \leq 4$ 上的最小值.

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20. 成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.某班级研究小组发现某种水果的产量 $m$ （单位：百千克）与肥料费用 $x$ （单位：百元）满足关系 $m = 4 - \frac{2}{x + 1}$ ，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用 $3 x$ 百元.若此种的水果市场价格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为 $L (x)$ （单位：百元）.

(1)、求函数 $L (x)$ 的关系式，并写出定义域；

(2)、当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (m + 3) x + 3 m$ .

(1)、若命题“ $\exists x_{0} \in [- 1 ， 2]$ ， $f (x_{0}) \geq m (1 - x_{0})$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m \in R$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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22. 定义：对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in D$ ，有 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 1) x + b - 8$ ， $a \neq 0$ .

(1)、若 $\forall b \in R$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的不动点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a \in (0 ， 3)$ 且 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = \frac{1 - a}{a + 1}$ ，求实数 $b$ 的最小值.

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