辽宁省丹东市2022-2023学年高三上学期数学总复习第一次阶段测试试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > a^{2}}$ ， $B = {x | x < 3 a - 2}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$

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2. 已知 $z = 1 - 2 i$ ，且 $z + a \bar{z} + b = 0$ ，其中a，b为实数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 2$ B、 $a = - 1 ， b = 2$ C、 $a = 1 ， b = 2$ D、 $a = - 1 ， b = - 2$

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3. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边是 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (m ， 1)$ ，若 $t a n α = - 2$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. $(1 - \frac{y}{x}) (x + y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为（）

A、-56 B、-28 C、28 D、56

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5. 设平面向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，若 $< \vec{a} ， \vec{c} > = < \vec{b} ， \vec{c} >$ ，则平面向量 $\vec{c}$ 可能是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\sqrt{3} \vec{a} + \vec{b}$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 3$ ， $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} = 12$ ，则 $\sum_{k = 1}^{5} {(- 1)}^{k + 1} a_{k} =$ （）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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7. 设直线 $l$ 与曲线 $y = 2 x^{3} - x + 1$ 相切于点 $M (x_{1} ， f (x_{1}))$ ，相交于另一点 $N (x_{2} ， f (x_{2}))$ ，则（）

A、 $x_{2} = - 2 x_{1}$ B、 $x_{2} = 2 x_{1}$ C、 $x_{2} = - 2 x_{1} - 1$ D、 $x_{2} = 2 x_{1} - 1$

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8. 若 $a = \frac{π}{2} s i n 1 + \frac{π}{2} t a n 1$ ， $b = π$ ， $c = 2 l n π + \frac{1}{π}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 某直播带货平台统计了2022年连续5个月该平台的手机销量，得到如下数据统计表

月份	5月	6月	7月	8月	9月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5
月销售 $y$ 部	52	95	$m$	185	227

已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，由表中计算得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 8 + 44 x$ ，则（）

A、

m = 138

B、月销售

y

（部）与月份编号

x

成正相关 C、该平台手机销售量平均每月增加约44部 D、该平台手机销量11月份手机销售量为316部

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ．若 $S_{n} \leq S_{6}$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d < 0$ C、 $a_{6} = 0$ D、 $S_{13} \leq 0$

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11. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - x) + f (x) = 0$ ，则必有（）

A、 $f (- 3) = 0$ B、 $f (1) = f (2)$ C、 $f (- \frac{15}{2}) = 0$ D、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{9}{2} ， 0)$ 对称

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12. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ ，若 $f (- \frac{2 π}{3}) = - f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3} ， \frac{π}{3})$ 有且仅有两个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3} ， \frac{π}{3})$ 最多有2个零点 B、 $1 < ω \leq 3$ C、 $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数 D、 $φ \in (2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{2}] (k \in Z)$

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三、填空题

13. $s i n 300 ° =$ ．

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14. 已知 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，若 $f (x) = P (x \leq X \leq x + 4)$ 为偶函数，则 $μ =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， 0 \leq x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{2} - 4 x_{1}$ 的最小值为．

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16. 现有分别写有数字2至8的7张卡片，将写有质数的卡片放入A箱中，将写有合数的卡片放入B箱中，从A箱中随机抽取一张卡片放入B箱中，再从B箱中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上的数字互质的概率为．

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四、解答题

17. 已知公比小于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20$ ， $a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} > 100 a_{n}$ ，求 $n$ 的最小值．

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18. $△ A B C$ 中，已知 $c o s 2 A - c o s 2 B - c o s 2 C = 2 s i n B s i n C - 1$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、设 $D$ 为BC边上一点，且满足_______，若 $B C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ ．
从下面①②两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．

① $A D$ 为 $B C$ 边中线，且 $A D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ；

②AD为 $∠ B A C$ 的平分线，且 $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 为树立“优先公交、绿色出行”理念，市政府倡议“少开一天车，优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯．甲、乙两位市民为响应政府倡议，在每个工作日的上午上班（记为上班）和下午下班（记为下班）选择坐公交车（记为A）、骑自行车（记为B）．统计这两人连续100个工作日的上班和下班出行方式的数据情况如下：
上班下班出行方式
（A，A）
（A，B）
（B，A）
（B，B）
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
10天
30天
40天
设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率．

(1)、记M表示事件：一天中，甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车，求 $P (M)$ ；

(2)、记X为甲、乙两人在一天中上班和下班选择出行方式的个数，求 $E (X)$ ；

(3)、若甲、乙两人下班时都选择骑自行车，请问哪个人上班时更有可能选择坐公交车？说明理由．

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20. 已知 $△ A B C$ 为斜三角形．

(1)、证明： $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $s i n C = 2 s i n A s i n B$ ，求 $t a n A + t a n B + t a n C$ 的最小值．

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21. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 10$ ，公差 $d \neq 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 5$ ， $b_{3} = 17$ ，已知数列 ${a_{b_{n}}}$ 为等比数列．

(1)、求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{n} - b_{n}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} > l n (n + 1)$ ．

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上班下班出行方式	（A，A）	（A，B）	（B，A）	（B，B）
甲	30天	20天	40天	10天
乙	20天	10天	30天	40天