江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4 x}$ ， $B = {x | 3 x - 4 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{4}{3} ， 4]$ D、 $(- \infty ， 0)$

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2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 在 $Δ A B C$ 中，点 $N$ 满足 $\vec{A N} = 2 \vec{N C}$ ，记 $\vec{B N} = \vec{a}$ ， $\vec{N C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{B A} =$ （）

A、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$

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4. “ $s i n α + c o s α = 1$ ”是“ $s i n 2 α = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，若正数 $m ， n$ 满足 $f (2 m) + f (\frac{1}{n} - 1) = 0$ ，则 $\frac{1}{m} + n$ 的最小值为（）

A、3 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s ω x - s i n ω x$ （ $ω > 0$ ）的周期为 $2 π$ ，那么当 $x \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ 时， $ω f (x)$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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7. 古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为 $a$ ，梯脚落在巷中的 $M$ 点，当梯子的顶端放到右边墙上的 $N$ 点时，距地面的高度是 $h$ ，梯子的倾斜角正好是 $4 5^{∘}$ ，当梯子顶端放到左边墙上的 $P$ 点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是 $7 5^{∘}$ ．则小巷的宽度 $A B$ 等于（）

A、6尺 B、 $a$ 尺 C、（ $h + 2$ ）尺 D、 $\frac{h + a}{2}$ 尺

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8. 已知实数 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = 2 c o s 3 6^{∘}$ ， $c = \sqrt{2}$ ，那么实数 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知非零实数 $a ， b ， c$ 满足 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等关系一定正确的有（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \leq - 2$ C、 $(a - b)^{a} > (b - c)^{a}$ D、 $\frac{c}{a} \in (- 2 ， - \frac{1}{2})$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - 2 c o s x c o s 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (\frac{π}{6}) = f (- \frac{π}{3})$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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11. 在棱长为2的正方体中， $M ， N$ 分别是棱 $A B ， A D$ 的中点，线段 $M N$ 上有动点 $P$ ，棱 $C C_{1}$ 上点 $E$ 满足 $C_{1} C = 3 C_{1} E$ ．以下说法中，正确的有（）

A、直线 $C_{1} P$ 与 $B E$ 是异面直线 B、直线 $C_{1} P / /$ 平面 $B D E$ C、三棱锥 $C - C_{1} M N$ 的体积是1 D、三棱锥 $C - C_{1} M N$ 的体积是3

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x) (x^{2} + a x + b)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，则（）

A、 $a + b = 5$ B、 $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{35}{16}$ C、 $f (x)$ 图象与直线 $2 x + y - 8 = 0$ 相切 D、 $f (x)$ 图象与直线 $12 x - y - 48 = 0$ 相切

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三、填空题

13. 命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + m x + 2 ⩽ 0$ ，若“非p”为真命题，则m的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 ， \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 则函数 $g (x) = 2 - f [f (x)]$ 的所有零点之积等于．

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15. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B > C$ ， $c o s A = \frac{31}{32}$ ， $c o s (B - C) = \frac{1}{8}$ ，那么 $t a n B =$ ．

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16. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，往里第二个正方形为 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，往里第 $n$ 个正方形为 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．（参考数据： $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ）．

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四、解答题

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 b s i n A - \sqrt{3} a = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A c o s B c o s C$ 的取值范围．

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18. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $E (c o s α ， s i n α)$ （其中 $0 \leq α \leq π$ ），将向量 $\vec{O E}$ 逆时针方向旋转 $9 0^{∘}$ ，得到向量 $\vec{O F}$ ，记 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， - 1)$ ．

(1)、求 $| \vec{A E} + \vec{A F} |$ 的最大值；

(2)、试判断两向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{B F}$ 的位置关系．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = P A$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点，记 $A M$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $α$ ， $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $β$ ，试研究 $α$ 与 $β$ 的等量关系．

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20. 已知首项 $a_{1} = 4$ 的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意 $n ∈ N^{∗}$ 都有 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{n + 1}{2 n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，有 $A \leq \frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n}} \leq B$ 恒成立，求 $B - A$ 的最小值．

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21. 给定函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} .$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的大致图象；

(3)、求出方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数

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22. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - (l n a) \cdot x$ （实数 $a > 0$ ）．

(1)、若实数 $a \in N^{*}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最小值；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{n})^{n} < 3$ ．

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