江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学10月诊断调研测试试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合X是实数集R的子集，如果点 $x_{0} \in R$ 满足：对任意 $a > 0$ ，都存在 $x \in X$ ，使得 $0 < | x - x_{0} | < a$ ，称 $x_{0}$ 为集合X的聚点，则在下列集合中：① ${x | x \in R ， x \neq 0}$ ；② ${x | x \in Z ， x \neq 0}$ ；③ ${x | x = \frac{1}{n} ， n \in N^{*}}$ ；④ ${x | x = \frac{n}{n + 1} ， n \in N^{*}}$ ，以0为聚点的集合有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、0

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2. 设命题p： $a (a + b) < 0$ ，命题q： $a^{2} < b^{2}$ ，那么命题p是命题q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分不必要条件

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3. 关于复数，下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $9 + i$ C、若点Z的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，则Z对应的点在第三象限 D、若复数z满足 $1 \leq | z | \leq \sqrt{2}$ ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 $π$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $(\sqrt{2} - 1) S_{n} + a_{n} = \sqrt{2}$ ( $n \in N^{*}$ ).记 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则使 $T_{n} > \frac{63 \sqrt{2}}{64}$ 成立的最小正整数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 已知 $2 + 5 \cos 2 α = \cos α$ ， $\cos (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，则 $\cos β$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{44}{125}$ C、 $- \frac{44}{125}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $O$ 是 $△ A B C$ 的中心， $P A = A B = 2$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7. 设 $a = 0.98 + s i n 0.01$ ， $b = e^{- 0.01}$ ， $c = \frac{l o g_{2021} 2022}{l o g_{2022} 2023}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为 $6 0^{∘}$ ），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）

A、该椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、该椭圆的离心率为 $2 - \sqrt{3}$ C、该椭圆的焦距为 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3}$ D、该椭圆的焦距为 $2 \sqrt{3} - 1$

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9. 若 $f (x) = | \sin x | + | \cos x |$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、方程 $x = - \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $\exists a$ ， $b > 0$ ，对 $\forall x \in R$ 都满足 $f (x + a) + f (a - x) = 2 b$ ，（a，b是实常数）

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1}$ ≥2 $a_{n}$ B、 ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ 是递增数列 C、{ $a_{n + 1}$ -4 $a_{n}$ }是递增数列 D、 $a_{n} \geq n^{2} - 2 n + 2$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上的点 $M (1 ， m)$ 到点 $F$ 的距离是2， $P$ 是抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的动点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $m = \pm \sqrt{2}$ B、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$ C、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| F A |}{| F B |}$ D、若直线 $A B$ 过点 $P$ ，则 $| A F | + | B F | > 2 | P F |$

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12. 已知某四面体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是 $($ 注： $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时，等号成立 $)$ （）

A、若 $a = 2$ 且该四面体的侧面存在正三角形，则 $b \in (\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{2})$ B、若 $a = 3$ 且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积 $V_{1} \in (0 ， \frac{3 \sqrt{3}}{4}]$ C、若 $a = 4$ 且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积 $V_{2} \in (0 ， \frac{128 \sqrt{3}}{27}]$ D、对任意 $a > 1$ ，记侧面存在正三角形时四面体的体积为 $V_{1}$ ，记对棱均相等时四面体的体积为 $V_{2}$ ，恒有 $(V_{1})_{m a x} > (V_{2})_{m a x}$

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三、填空题

13. 已知函数 $y = f (x + 1) - 2$ （ $x \in R$ ）为奇函数， $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{m} (x_{i} + y_{i})$ =.

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14. 已知直线 $l_{1} ： m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ，线段 $A B$ 是圆 $C ： (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最大值为．

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15. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 6$ ，点 $O$ 为其外接圆的圆心.已知 $\vec{B O} · \vec{A C} = 15$ ，则当角 $C$ 取到最大值时 $△ A B C$ 的面积为

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16. 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为 $1 .$
①每一个截角四面体共有18条棱，12个顶点；
②该截角四面体的表面积为 $9 \sqrt{3} ；$
③该截角四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{22}}{4} .$
则上述所有正确结论的序号是.

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{t a n B}{2 t a n B - t a n A} = \frac{t a n C}{t a n A}$ .

(1)、求证： $b^{2} + c^{2} = 2 a^{2}$ ；

(2)、求 $\frac{a b}{c^{2}}$ 的取值范围.

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18. 图1是由矩形 $A C C_{1} A_{1}$ 、等边 $△ A B C$ 和平行四边形 $A B B_{1} A_{2}$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 2$ ， $A A_{1} = A A_{2} = 1$ ， N为 $A_{1} C_{1}$ 的中点.将其沿AC，AB折起使得 $A A_{1}$ 与 $A A_{2}$ 重合，连结 $B_{1} C_{1}$ ， BN，如图2.

(1)、证明：在图2中， $A C ⊥ B N$ ，且B，C， $C_{1}$ ， $B_{1}$ 四点共面；

(2)、在图2中，若二面角 $A_{1} - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，且 $t a n θ = - \frac{1}{2}$ ，求直线AB与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n}}{a_{n} + 2} = \frac{1}{2} a_{n + 1}$ $(n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、若记 $b_{n}$ 为满足不等式 ${(\frac{1}{2})}^{n} < a_{^{k}} \leq {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ $(n \in N^{*})$ 的正整数 $k$ 的个数，数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求关于 $n$ 的不等式 $S_{n} < 4032$ 的最大正整数解.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ S A D$ 是正三角形，且平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $P$ 为棱 $A D$ 的中点，四棱锥 $S - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、若 $E$ 为棱 $S B$ 的中点，求证： $P E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、在棱 $S A$ 上是否存在点 $M$ ，使得平面 $P M B$ 与平面 $S A D$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ？若存在，指出点 $M$ 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

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21. 作斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线l与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $P (\sqrt{2} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ 在直线l的左上方.

(1)、当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；

(2)、证明： $△ P A B$ 的内切圆的圆心在一条定直线上.

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22. 已知 $f (x) = l n (x + 1) - a x (a \in R)$ ， $g (x) = - s i n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象恰有一个交点，求 $a$ 的取值范围.

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