湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 某种彩票的中奖概率为 $\frac{1}{100000}$ ，则以下理解正确的是（）

A、购买这种彩票100000张，一定能中奖一次 B、购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖 C、购买这种彩票1张，一定不能中奖 D、购买这种彩票100000张，至少能中奖一次

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2. 直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 4 = 0$ 的频斜角为（）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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3. 若直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 4 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + 2 y + 3 = 0$ 平行，则实数 $m =$ （）

A、2 B、－2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且 $P E = \frac{1}{2} E C$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$

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5. 某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（）

A、是对立事件 B、都是必然事件 C、不是互斥事件 D、是互斥事件但不是对立事件

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6. 已知直线l过点 $P (0 ， 1)$ ，且与直线 $l_{1}$ ： $x - 3 y + 10 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $2 x + y - 8 = 0$ 分别交于点A，B．若P为线段AB的中点，则直线l的方程为（）

A、 $x + 4 y + 4 = 0$ B、 $4 x + y - 4 = 0$ C、 $x - 4 y + 4 = 0$ D、 $x + 4 y - 4 = 0$

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7. 已知空间内三点 $A (1 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 3 ， 1)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 5} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $1 + 2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{17} + 2$

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二、多选题

9. 中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）

A、 $P (A) = 0.55$ B、 $P (A + B) = 0.73$ C、 $P (C) = 0.27$ D、 $P (B + C) = 0.55$

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $4 x - m y + 6 = 0$ ，则下列命题正确的有（）

A、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(0 ， - 3)$ B、存在m使得直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $90 °$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m = 2$ 或 $m = - 2$ D、不存在实数m使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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11. 已知不共面的三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 都是单位向量，且夹角都是 $\frac{π}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${\vec{a} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c}}$ 是空间的一组基底 B、 ${3 \vec{a} + 7 \vec{b} + 4 \vec{c} ， 2 \vec{a} + 3 \vec{b} + \vec{c} ， - \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}}$ 不是空间的一组基底 C、向量 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ 的模是2 D、向量 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$

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12. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $C C_{1} = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，则（）

A、平面 $B D A_{1} ⊥$ 平面 $C C_{1} A_{1} A$ B、异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、设 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $D A_{1}$ 上，且 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C_{1}} = \frac{D Q}{D A_{1}} = \frac{3}{4}$ ，则 $P Q = \sqrt{3}$ D、若点 $M$ 在 $△ B D A_{1}$ 内（包括边界）且 $A M = 1$ ，则 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{4}{5}$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点 $A (4 ， - 6 ， - 3)$ 关于x轴的对称点为点B，则 $| A B | =$ ．

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14. 从3名男生和2名女生中随机选取2人参加书法展览会，则选取的2人全是男生的概率为．

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15. 若三条直线 $l_{1}$ ： $4 x + y - 4 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x + y = 0$ ， $l_{3}$ ： $2 x - 3 m y - 16 = 0$ 不能围成三角形，则实数m取值的集合为．

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16. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形， $A D = S A = S D = 2 A B = 2$ ， P为棱AD的中点，且 $S P ⊥ A B$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A S} (0 \leq λ \leq 1)$ ，若点M到平面SBC的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知平面内三点 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (4 ， - 2)$ ， $C (7 ， 1)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点 $B$ 且与线段 $A C$ 有交点，求直线 $l_{1}$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等．

(1)、若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率；

(2)、若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率．

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19. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， E为 $D D_{1}$ 的中点，F为 $B D_{1}$ 上靠近B的三等分点．

(1)、求异面直线CF与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线CF与平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成角的正弦值．

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20. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $\frac{1}{5}$ ．

(1)、求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

(2)、求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

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21. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (2 ， 3)$ ，边 $B C$ 的中线 $A P$ 所在直线方程为 $x + 9 y + 6 = 0$ ，边 $A B$ 上的高 $C H$ 所在直线方程为 $8 x + 3 y - 17 = 0$ ．

(1)、求顶点A的坐标；

(2)、求点A到直线 $B C$ 的距离.

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22. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A A_{1} = A B = A C = 1$ ， N，M分别是BC， $C C_{1}$ 的中点，点P在线段 $A_{1} B_{1}$ 上．

(1)、若P为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，证明： $P N / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

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投篮次数	投中两分球的次数	投中三分球的次数	没投中
100	55	18	m