河南省南阳市六校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知点 $A （ 1 ， 3 ）$ ， $B （ 5 ， 7 ）$ ，则线段 $A B$ 的垂直平分线所在的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $x + y - 8 = 0$ C、 $x + 2 y + 3 = 0$ D、 $x + y + 6 = 0$

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2. 若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示椭圆，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 2)$ C、 $(- 4 ， - 1) ∪ (- 1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (2 ， + \infty)$

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3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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4. 直线 $y = k x + k$ 和 $y = k x + k^{2} ， k \in R$ 的图形可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 \sqrt{3} ， 0)$ ，过 $F$ 和 $P (0 ， 2 b)$ 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{3}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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6. 直线 $x + a y - 3 a = 0 (a \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相离 C、相切或相交 D、相切或相离

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为2， $P$ 是双曲线上一点， $P F_{1} ⊥ x$ 轴，则 $\frac{| P F_{1} |}{| F_{1} F_{2} |}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知直线l： $x + y - 1 = 0$ 与椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 交于A，B两点，P为C的右顶点，则△ABP的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若双曲线上存在点 $P$ ，使得 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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10. 已知A，B分别是椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{6}$ 上的动点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，焦距为 $2 c (c > 0)$ ， P为直线 $x = c$ 上一点，若△PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $3 x - y - 20 = 0$ ，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q．当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时， $| P Q |$ ＝（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$

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二、填空题

13. 已知直线 $2 a^{2} x + y - 3 = 0$ 与直线 $x - 4 a y + 2 = 0$ 相互垂直，且两条直线都不与坐标轴垂直，则实数a的值为．

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14. 如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为cm．

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15. 已知圆C的圆心在直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 上，点（3，0）与（1，－2）都在圆C上，则圆C的面积为．

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若 $| A B | = | D E | = 4 \sqrt{3}$ ，则F到l的距离为．

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三、解答题

17. 已知四边形ABCD为平行四边形，A（－2，1），B（4，0），D（－2，11）.

(1)、求点C的坐标；

(2)、若点P满足 $P C ⊥ A B$ ，求直线PC的方程.

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18. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、若直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为（2，2），求|AB|；

(2)、已知点P的坐标为（3，1），求过点P的圆C的切线l的方程.

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19. 已知点 $M$ 到点 $O (0 ， 0)$ 的距离与点 $M$ 到点 $A (2 ， 0)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求 $M$ 点的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过 $O A$ 的中点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与（1）中的曲线 $C$ 交于 $E ， F$ 两点，求 $△ A E F$ 的面积．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，上顶点为A，右顶点为B，△AOB（O为坐标原点）的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若 $| P Q | = \frac{6 \sqrt{6}}{7}$ ．求l的方程．

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21. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $y = x + 2$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若 $| P A | = \frac{\sqrt{3}}{2} | A B |$ ，求l的方程．

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22. 已知直线l过点P（1，0），与椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直．

(1)、若直线l的斜率为1，M（ $\frac{2}{3}$ ，－ $\frac{1}{3}$ ）为线段AB的中点，求 $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ 的值；

(2)、若 $a = 2 b$ ，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程．

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