河南省创新发展联盟2022-2023学年高二上学期数学第二次联考（期中）试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{4}$ C、 $x = - \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{16}$

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2. 若直线 $2 x + t y - 2 = 0 (t \in R)$ 与 $2 x - y + 3 = 0$ 垂直，则 $t =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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3. 若方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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4. 过原点且与抛物线 $y^{2} = x$ 只有一个公共点的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条

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5. 直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 关于直线 $x = 1$ 对称的直线方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 13 = 0$ B、 $3 x - 4 y - 11 = 0$ C、 $3 x + 4 y - 11 = 0$ D、 $3 x + 4 y + 13 = 0$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} - 9} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 3} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，则 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$

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7. 已知斜率为 $k$ 且不经过原点的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $M$ 在 $y$ 轴上，则 $k =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、0

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8. 已知直线 $l ： a x + b y + 1 = 0$ 始终平分圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$ 的周长，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 坐标原点到直线 $l ： k^{2} x + x + y - k^{2} - 2 = 0$ 的距离的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2}]$ B、 $[0 ， \sqrt{2}]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点为 $F ， P$ 是 $C$ 上一点， $M$ 是圆 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则 $| P M | + | P F |$ 的最大值为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F ， N$ 为 $C$ 上一点，且 $N$ 在第一象限，直线 $F N$ 与 $C$ 的准线交于点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $x$ 轴平行的直线与 $C$ 交于点 $P$ ，若 $| M N | = 2 | N F |$ ，则 $△ M P F$ 的面积为（）

A、8 B、12 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是直线 $l ： x = - \sqrt{m}$ 上的动点，若 $t a n ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最大值为2，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 写出一条过原点，且与圆 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 相切的直线的方程．

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与直线 $y = 2 x$ 无交点，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 3$ ，且 $c o s ∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2}{3}$ ，则 $m =$ ．

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16. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点 $A ， B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 $O x y$ 中， $A (1 ， 4) ， B (- 2 ， - 1)$ ，点 $P$ 是满足 $λ = \sqrt{3}$ 的阿氏圆上的任一点， $O$ 为坐标原点，则该阿氏圆的标准方程为，过点 $O$ 的最短弦长为

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三、解答题

17. 已知不过原点的直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，点 $P (2 ， 5)$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 所截得的线段长为 3 ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = x - 1$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，求 $△ F P Q$ 的面积．

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19. 已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(8 ， 6)$ ，端点 $A$ 在圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 8$ 上运动．

(1)、求线段 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $A B$ 与圆 $C$ 的另一个交点为 $D$ ，当 $C A ⊥ C D$ 时，求直线 $A B$ 的方程．

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20. 已知直线 $l ： (2 m + 1) x + (3 - 4 m) y + 10 m - 15 = 0 (m \in R)$ ．

(1)、证明：无论 $m$ 取何值，直线 $l$ 与直线 $x - 2 y + 5 = 0$ 总相交．

(2)、若 $m \in (- \frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ ，直线 $l$ 与 $x ， y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点， $C (2 ， 0)$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (4 ， 0)$ 到渐近线的距离为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得点 $F$ 到直线 $P A ， P B$ 的距离相等? 若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知点 $P (2 ， m)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，点 $P$ 到抛物线 $C$ 的焦点的距离为4．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M ， N ， Q$ 在抛物线 $C$ 上，若 $△ M N Q$ 是以 $N Q$ 为斜边的等腰直角三角形，求 $\vec{N M} \cdot \vec{N Q}$ 的最小值．

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