广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x^{2} \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、0

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2. 在复平面内，复数 $z$ 满足 $i z = 3 - 2 i$ ，则 $z$ 对应的点位于（）

A、第二象限 B、第一象限 C、第四象限 D、第三象限

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3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、3π B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $\sqrt{3} π$ D、2π

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4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 满足：① $\forall x$ 、 $y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ， ② $\forall x > 0$ ， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 是偶函数且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 是奇函数且单调递减 D、 $f (x)$ 是奇函数且单调递增

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6. 已知锐角 $θ$ 满足 $2 c o s 2 θ = 1 + s i n 2 θ$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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7. 在平面中，过定点 $P (2 ， 1)$ 作一直线交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ， $△ O A B$ 面积的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则（）

A、 $f (l o g_{5} 0.5) > f (l o g_{0.5} 0.2) > f (0 . 5^{0.2})$ B、 $f (l o g_{5} 0.5) > f (0 . 5^{0.2}) > f (l o g_{0.5} 0.2)$ C、 $f (l o g_{0.5} 0.2) > f (0 . 5^{0.2}) > f (l o g_{5} 0.5)$ D、 $f (0 . 5^{0.2}) > f (l o g_{0.5} 0.2) > f (l o g_{5} 0.5)$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m = - 2$ C、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $m = 2$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，则 $m = 3$

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10. 若圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 3 x - 3 y + 3 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x - y + 1 = 0$ B、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x + y - 3 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ D、在过 $A$ ， $B$ 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 $C_{1}$

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中， $M$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、四面体 $B_{1} A C M$ 的体积恒为定值 B、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A D_{1} C$ 所成角正弦值可以为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、异面直线 $B M$ 与 $A C$ 所成角的范围是 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、当 $3 A_{1} M = A_{1} C_{1}$ 时，平面 $B D M$ 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形

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12. 若过点 $P (1 ， λ)$ 最多可作出 $n (n \in N^{*})$ 条直线与函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ 的图象相切，则（）

A、 $λ + n < 3$ B、 $λ n$ 可能等于-1 C、当 $n = 2$ 时， $λ$ 的值不唯一 D、当 $n = 1$ 时， $λ$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{4}{e}) \cup {0}$

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三、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{1}{2 x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 0$ ， $S_{6} = S_{3} + 6$ ，则 $S_{7} =$ ．

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15. 若 $f (x) = 2 s i n (x + φ) - s i n x$ 为偶函数，则 $φ =$ .（填写符合要求的一个值）

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16. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} + 1)$ ， $g (x) = (x + 1) l n x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t (t > 0)$ ，则 $x_{1} (x_{2} + 1) \cdot l n t$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $S_{4} = 30$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = 2^{a_{n} b_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 3^{x} + a (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $f (x^{2} - x) + f (4 - m x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $\sqrt{3} a s i n C - c c o s A - c = 0$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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20. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高，以 $C D$ 为折痕把 $△ A C D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且 $∠ P B D = 6 0^{∘}$ ， $E$ 、 $F$ 、 $H$ 分别为 $P B$ 、 $B C$ 、 $P D$ 的中点， $G$ 为 $C F$ 的中点，

(1)、求证： $G H / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求直线 $G H$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．

(1)、若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；

(2)、若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + 2 e^{- x} + (a - 2) x$ （ $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq (a + 2) c o s x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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