2022-2023学年沪科版九年级上册解直角三角形单元检测卷

试卷更新日期：2022-11-03 类型：单元试卷

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一、单选题（每小题4分，共40分）

1. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 $α$ ，则高BC是（）

A、 $12 \sin α$ 米 B、 $12 \cos α$ 米 C、 $\frac{12}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{12}{\cos α}$ 米

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2. 如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比为 $1$ ： $\sqrt{3}$ ，坝高 $B C = 3$ m，则 $A B$ 的长度为（）

A、6m B、 $3 \sqrt{3}$ m C、9m D、 $6 \sqrt{3}$ m

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ 都是锐角，且 $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $t a n B = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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4. 如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）

A、 $3000 \sqrt{3}$ m B、 $3000 (\sqrt{3} + 1)$ m C、 $3000 (\sqrt{3} - 1)$ m D、 $1500 \sqrt{3}$ m

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5. 如图．将扇形 $A O B$ 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点C，连接 $A C$ ．若 $O A = 2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 如图， $△ A B C$ 的顶点均在正方形网格的格点上，则 $s i n ∠ A B C$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°， $A B = 10$ 米， $A E = 15$ 米，则宣传牌CD的高度是（）米

A、 $20 - 10 \sqrt{3}$ B、 $20 + 5 \sqrt{3}$ C、 $15 + 5 \sqrt{3}$ D、 $15 \sqrt{3} - 5$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 折叠，点 $B$ 落在矩形 $A B C D$ 的内部点 $F$ 处，若 $t a n ∠ D A F = \frac{3}{4}$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{9}{4}$

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9. $t a n 45 °$ 的值等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上的点，且 $B E = 2 A E$ ，过点 $E$ 作 $D E$ 的垂线交正方形外角 $∠ C B G$ 的平分线于点 $F$ ，交边 $B C$ 于点 $M$ ，连接 $D F$ 交边 $B C$ 于点 $N$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、1

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二、填空题（每空5分，共30分）

11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $c o s A = \frac{3}{4}$ ，那么AB的长为．

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12. 若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且高为 $3 \sqrt{3} c m$ ，则这个等腰三角形的腰长为，面积为．

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13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ $\frac{1}{2}$ PB的最小值是．

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14. 小明用一块含有 $60 °$ 角（ $∠ D A E = 60 °$ ）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度 $A B$ 为 $1.60 m$ ，小明与树之间的水平距离 $B C$ 为 $4 m$ ，则这棵树的高度约为 $m$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.70$ ）

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15. 如图，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使得 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点B，得到折痕 $B M$ ．连接 $M F$ ，若 $M F ⊥ B M$ ， $A B = 6 c m$ ，则 $A D$ 的长是 $c m$ ．

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三、计算题（共10分）

16. 化简：

(1)、 $6 t a n^{2} 60 ° - c o s 30 ° \cdot t a n 30 ° - 2 s i n 45 ° + c o s 60 °$

(2)、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{12} + 3 t a n 30 ° - (π - 3) ° + | 1 - \sqrt{3} |$ ．

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四、作图题（共13分）

17. 图①、图②、图③均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)、在图①中画一条以P为端点的射线 $P C$ ，使其平分线段 $A B$ ，点C在线段 $A B$ 上；

(2)、在图②中画一条以P为端点的射线 $P D$ ，使其分线段 $A B$ 为1：3两部分，点D在线段 $A B$ 上；

(3)、在图③中画一条以P为端点的射线 $P E$ ，使 $t a n ∠ P E B = 1$ ，点E在线段 $A B$ 上．

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五、解答题（共5题，共57分）

18. 如图，甲楼高 $40 m$ ，在甲楼楼顶 $D$ 处、楼底 $A$ 处分别测得乙楼楼顶 $B$ 处的仰角为 $30 °$ ， $60 °$ ． $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ．求乙楼的高度 $B C$ ．

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19. 如图，矩形 $A O B C$ 中， $O B = 4 ， O A = 3 ， F$ 是 $B C$ 边上一动点，过点 $F$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与边 $A C$ 相交于点 $E$ ．

(1)、点 $F$ 运动到边 $B C$ 的中点时，求反比例函数的表达式；

(2)、连接 $E F$ ，求 $t a n ∠ E F C$ 的值．

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20. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为底边在其右侧作等腰三角形 $A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结 $C E$ ，则：

(1)、求证： $D E / / A B$ ；

(2)、若 $c o s B = \frac{1}{4}$ ，求证： $C E = 2 A D$ .

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21. 为了节能减排，越来越多的市民使用共享电动车，图1为电动车实物图，图2为电动车示意图，AB与地面平行，已知车轮半径为15cm，BE＝40cm，∠ABE＝60°，若坐垫厚度为EM＝12cm，求坐垫M离地面的高度．（结果精确到1cm）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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2022-2023学年沪科版九年级上册 解直角三角形单元检测卷

一、单选题（每小题4分，共40分）

二、填空题（每空5分，共30分）

三、计算题（共10分）

四、作图题（共13分）

五、解答题（共5题，共57分）

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